El hombre de cada momento, de cada generación, se va encontrando con lo que ante él aparece, con lo que es sin necesidad del hombre y con lo hecho por el hombre. Entre lo primero, entre lo que juzga no hecho por el hombre, hay quien identifica lo que no puede no ser y lo que no puede ser de otra manera. Los números naturales se han venido incluyendo más o menos claramente en este grupo, en lo que es necesariamente. Como ‘dos y dos son cuatro’ (artículo de este blog de 6 de junio de 2018). Y puede que algunos hayan considerado así todas las matemáticas.
La palabra ‘axioma’ permanece como consecuencia de esa visión. “Proposición tan clara y evidente que se admite sin demostración” es la primera acepción del Diccionario de la Lengua Española. Lo que es porque no puede no ser ni ser de otra manera. Y esas cualidades, no poder no ser ni ser de otra manera, las descubriríamos desde dentro, desde nosotros mismos, las descubriría la razón sin necesidad de nada exterior a ella.
En matemáticas se ha utilizado ‘axioma’ con ese significado o parecido. Lo que nosotros venimos llamando definición de números naturales, ‘1 y cada n+1 si n es número natural’, es una forma de expresar los axiomas de Peano. Fueron publicados a finales del siglo XIX. Se consideran la primera puesta en palabras de los números naturales, que parecían estar desde siempre. O antes.
Pero este significado de ‘axioma’, lo que no puede no ser ni ser de otra manera, ha ido perdiendo fuerza. Aquí venimos mostrando los números naturales como parte del lenguaje de que nos hemos ido dotando (artículo de este blog de 7 de agosto de 2019). Sus teoremas, o proposiciones matemáticas como se dice a veces, resultan contenidos de su definición. No parece que haga falta situarlos a más altura.
Es verdad que tienen características llamativas. La infinitud es una de ellas. Lo infinito siempre fue misterioso, como no de este mundo. Tratamos de representarnos de alguna manera cada conjunto infinito, de imaginarlo. Intentamos situar mentalmente a todos de eso infinito, uno por uno. Cuando resulta que un contenido de la palabra ‘infinito’, de lo que se quiere decir con ella, es que no hay ese ‘todos’ uno por uno, y que, por tanto, ningún infinito puede ser concebido de esa forma. Sí se puede identificar cada número natural y citar propiedades que caractericen a ‘todos’, que ahora significa cualquiera de ellos. Pero no se puede visualizar en algún tipo de acto mental el conjunto de todos los cada unos. ‘Infinito’ niega esa posibilidad. Que el conjunto de los números naturales es infinito significa solo que no hay un último. Simplemente porque a ‘el siguiente de un número natural’ lo llamamos también número natural.
¿Existen realidades externas al lenguaje con propiedades parecidas? Da igual. Esas existencia o no existencia no pueden impedir la creación de los números naturales. Son solo palabras, símbolos que hemos relacionado entre sí. Y si a decir con palabras, a definir, lo llamamos crear, ese crear no tiene más límite que el de nuestro ingenio. Ni siquiera el lenguaje es límite si somos capaces de añadirle lo necesario para decir lo nuevo. Y justamente así hemos ido construyendo los números naturales. Son consecuencia de la búsqueda de soluciones para la vida en que la vida consiste. Como otras creaciones igual de asombrosas si no fuera porque ahora vemos nacer no pocas de ellas.
