La palabra besar se utiliza habitualmente para describir ese movimiento de los labios, con el que tocamos a alguien o algo y expresamos muchas cosas, desde el amor y el deseo, hasta la simple reverencia o saludo. Pero besar tiene también un sentido culto, de tocar una cosa con otra, al que los matemáticos le hemos sacado mucho partido, elevándolo a la categoría de concepto geométrico: la tangencia, en la que dos líneas o superficies se tocan en un punto común, sin llegar a cortarse.

El griego Apolonio de Pérgamo (262 al 190 a.C.) fue pionero en estudiar estos toques sutiles en su obra “Tangencias”, donde expuso los denominados “diez problemas de contacto de Apolonio”, dedicados a estudiar las circunferencias que son tangentes a puntos, rectas y a otras circunferencias. En el último de esos problemas se plantea una curiosa construcción: la de una circunferencia que sea tangente a tres circunferencias dadas, o si lo prefieren ¿cómo puede una circunferencia besar a otras tres?

circulosDescartes

La respuesta hubo de esperar unos cuantos siglos, hasta que el francés René Descartes (1581-1650) lo resolvió en el caso que las tres circunferencias son tangentes dos a dos, estableciendo además una bella relación entre sus curvaturas (los valores recíprocos de sus radios). Pero este resultado hubiera quedado relegado al conocimiento de los expertos, de no ser por su redescubrimiento posterior por obra y gracia no de un matemático, sino del químico inglés Frederick Soddy (1877-1956), conocido por sus investigaciones sobre los isótopos (sustancias que manteniendo las mismas propiedades químicas tienen propiedades radioactivas diferentes), con las que alcanzó el premio Nobel de Química en 1921.

Soddy publicó en 1936, dentro del volumen 137 de la revista científica “Nature”, un poema de su autoría titulado “El beso preciso”, donde profundiza sobre este resultado geométrico, con los siguientes versos:

“Pueden besarse los labios, dos a dos,
sin mucho calcular, sin Trigonometría;
más ¡Ay!, no sucede igual en Geometría,
pues si cuatro círculos tangentes quieren ser
y besar cada uno a los otros tres,
para lograrlo habrán de estar los cuatro
o tres dentro de uno, o alguno
por otros tres, a coro rodeado.
De estar uno entre tres, el caso es evidente
pues tres veces son besados todos desde afuera,
Y el caso tres en uno no es quimera,
al ser este uno por tres veces besado internamente”
“Cuatro círculos llegaron a besarse,
cuanto menores tanto más curvados,
y es su curvatura tan sólo la inversa
de la distancia desde el centro
Aunque este enigma a Euclides asombrara,
ninguna regla empírica es necesaria:
al ser las rectas de nula curvatura
y ser las curvas cóncavas tomadas negativas,
la suma de cuadrados de las cuatro curvaturas
es igual a un medio del cuadrado de su suma”

En 1937 el propio Soddy generalizó el teorema para cinco esferas que besan a una sexta en el espacio (conocido como el “sexteto o collar de Soddy”), y más tarde el juez inglés Thorold Gosset  (1869–1962) extendió el resultado de Soddy a dimensiones arbitrarias en el teorema de Soddy-Gosset, aunque la demostración tuvo que esperar a un matemático profesional, el también inglés Robert Lachlan (1861-1945).

Eso sí, para disfrutar de los besos, no hace falta esperar a un matemático, aunque los matemáticos también en esto, nos empeñemos en ser los más precisos y exactos.

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