Números naturales son 1 y cada n+1 si n es número natural: 1, 1+1, 1+1+1,…; ‘uno’, ‘el siguiente de uno’,… La estructura lingüística que esa definición crea es el origen de gran parte de las matemáticas. Una primera ampliación consistió en añadir otro nombre, ‘el anterior a 1’, ‘cero’, ‘0’. Las tres últimas expresiones entrecomilladas son equivalentes. Cualquiera de ellas es el número ‘cero’. La más breve es ‘0’.

Números naturales con el cero

‘0 es el anterior a 1’ equivale a decir que el ‘siguiente de 0 es 1’. O, con el lenguaje abreviado que venimos utilizando,

0+1=1,

cero más uno es igual a uno. Solo con esto dicho ‘0’ ha quedado incorporado a los números naturales.

Llamamos números naturales con el cero a la estructura lingüística así formada. Y números naturales sin el cero a la que no contiene al cero, a la que empieza con 1.

Por tanto, números naturales con el cero son 0; 0+1=1 y cada n+1 si n es número natural.

Poder del lenguaje…

La incorporación de ‘0’ a los números naturales ha consistido en expresar que ‘0 es el anterior a 1’, que ‘el siguiente de cero es uno’, 0+1=1. Así que en

2=1+1

podemos sustituir el segundo 1 por 0+1:

2=1+0+1

Esta igualdad dice que ‘2’ es ‘el siguiente de 1+0’. Por tanto, si queremos que 2 siga siendo ‘el siguiente de 1’, ha de ser

1+0=1

Y resulta que la definición de cero contiene que también la expresión ‘1+0’ es ‘1’, obliga a que sea

0+1=1=1+0,

exigencias del lenguaje…

… y solo del lenguaje

Si n es cualquier número natural, por lo que acabamos de decir podemos sustituir el 1 de n+1+n por 0+1 y por 1+0:

n+1+n=n+0+1+n=n+1+0+n

Para que el segundo miembro de esas igualdades sea el primero, n+0 ha de ser n. Y para que el tercero sea el primero, 0+n ha de ser n. Y resulta que

n+0=n=0+n,

otra exigencia solo del lenguaje, una demostración matemática.

Todas las propiedades de los números naturales, todos sus teoremas, son contenidos de su definición, de lo ya dicho, exigencias del lenguaje. No hay más.

Nada

Que n+0 y 0+n sean otras formas de escribir n se suele expresar diciendo que sumar cero es sumar nada. De ahí que a veces se identifique cero con ‘nada’. Pero hay escritores que llaman cero al capítulo con que inician sus libros. El cero entonces designa algo, no nada. Si son n los demás capítulos del libro, 0+n=n no es la cantidad de todos esos capítulos. En algunos edificios ‘0’ nombra la planta baja. De nuevo cero nombra algo, no nada. Si en el edificio hay otras n plantas, tampoco 0+n=n son todas las plantas de ese edificio.

Que 0+n y n+0 sean otras formas de escribir n es una propiedad de los números naturales con el cero, un contenido de su definición que no impone nada al exterior de la estructura lingüística que son los números. ‘Cero’ puede ser utilizado para nombrar lo que convenga al que lo utiliza. Como el resto de los números (artículo de este blog de 22 mayo de 2019).