Nombres

Creemos el nombre ‘uno’. Lo escribiremos también con el símbolo ‘1’. Por tanto, ‘uno’ y ‘1’, son sinónimos.

Utilizaremos el signo ‘=’ para decir que dos expresiones designan lo mismo. Así, ‘uno=1’ y ‘1=uno’ expresan que ‘uno’ y ‘1’ son formas de escribir el mismo nombre.

Creemos la expresión nominal, el nombre, ‘el siguiente de uno’. O, para simplificar, ‘1+1’, ‘dos’ o ‘2’. Todos sinónimos de ‘el siguiente de uno’, formas distintas de escribir ‘el siguiente de uno’. Donde aparezca ‘1+1’ podemos escribir ‘2’, y donde aparezca ‘2’ podemos escribir ‘1+1’:

1+1=2;  2=1+1

Nótese que es 2=1+1 no por una razón anterior a nuestra creación, sino porque hemos decidido que los símbolos ‘2’ y ‘1+1’ signifiquen lo mismo, ‘el siguiente de 1’.

Creemos el nombre ‘el siguiente de 2’, que designaremos por ‘2+1’. Es ‘el siguiente del siguiente de 1’, ‘1+1+1’. Lo llamaremos ‘tres’, símbolo ‘3’. Son todas formas de escribir el mismo nombre, de escribir ‘el siguiente de dos’. Por tanto

2+1=1+1+1=3

A ‘el siguiente de tres’, ‘3+1’, lo llamamos ‘cuatro’, ‘4’. Es ‘el siguiente del siguiente de 2’; o sea, ‘el siguiente del siguiente del siguiente de 1’:

4=3+1=2+1+1=1+1+1+1

Con esta regla, que llamaremos regla de ‘el siguiente’, podemos seguir creando nombres y escribiéndolos de distintas formas. Para abreviar, si designamos por n cualquier nombre, ‘n+1′ significa ‘el siguiente de n‘.

Números naturales

 Los nombres que se creen así, por la regla de ‘el siguiente’, se llaman ‘números naturales‘. Por tanto, los números naturales son los nombres ‘uno’ y cada ‘siguiente’ de un número natural. O, números naturales son ‘1’ y cada ‘n+1′ si n es número natural.

Que ‘siguiente de un número natural’ esté en la definición de número natural no la hace ambigua, ya que primero define, crea ‘1’ como número natural, por lo que siempre hay un número natural para poder crear ‘su siguiente’.

Por tanto, números naturales son un nombre y cada nombre ‘el siguiente’ de un número natural: un nombre, ‘plátano’ (1); ‘el siguiente de plátano’ (1+1), que podemos llamar ‘rosa’; ‘el siguiente del siguiente de plátano’ (1+1+1), que podemos llamar ‘carro’,… Los tres son números naturales con nombres ‘plátano’, ‘el siguiente de plátano, ‘el siguiente del siguiente de plátano’,…; o ‘plátano’, ‘rosa’, ‘carro’,…; o 1, 2, 3,…

Lo que caracteriza a los números naturales no son las palabras o símbolos que elijamos como nombres, sino que a partir de cualquier nombre construimos una cadena con ‘el siguiente’. Son un nombre, ‘el siguiente de ese nombre’, ‘el siguiente del siguiente de ese nombre’,… Podemos llamar a esta creación ‘estructura’.

Infinitud

Una vez definidos los números naturales, una vez dada la regla que los crea, se pueden encontrar propiedades de esos números. Son otras formas de decir lo contenido en la definición, afirmaciones y negaciones sobre los números naturales que deducimos solo de ella, otras maneras de decir lo mismo.

Por ejemplo, la regla de ‘el siguiente’ permite crear nombres indefinidamente. Con ella, de cualquier nombre, de cualquier número natural podemos crear ‘su siguiente’. Si hemos llegado al ‘n‘, podemos crear ‘n+1′, ‘el siguiente de n‘. No hay nombre último absoluto, no hay nombre del que no podamos crear ‘su siguiente’. Eso se expresa también con la afirmación ‘el conjunto de los números naturales es infinito‘, que es, por tanto, una propiedad de los números naturales.

Contar, ordenar, nombrar

La regla de ‘el siguiente’ identifica todos los nombres creados con ella, todos los números naturales: ‘uno’; ‘el siguiente de uno’; ‘el siguiente del siguiente de uno’;… Pero esa forma de identificación es poco o nada útil a medida que vamos creando más nombres, más números. Para facilitar la identificación hemos dado a ‘el siguiente de uno’ el nombre ‘dos’, ‘2’; a los siguientes ‘tres’, ‘3’; ‘cuatro’, ‘4’;… Sin embargo, esta nueva forma de identificar cada número requiere no parar nunca de buscar nombres, de buscar símbolos, infinitos. Una solución es el sistema de numeración que llamamos arábigo. Es una regla para escribir con símbolos los números naturales. También para ponerles nombres. Solo requiere aprender de memoria en orden los primeros, del uno al diez. El resto, en especial desde el veinte, se pueden construir fácilmente si uno aprende bien esa regla: veinte y uno, veinte y dos…, treinta y uno… ‘Contar‘, recitar los primeros números naturales para aprenderlos en orden, es uno de los primeros esfuerzos de nuestra educación infantil. Por cierto, que esta acepción de contar, recitar en orden números naturales, no está en el diccionario de la Real Academia Española.

Los números naturales son nombres. A una naranja de un conjunto de ellas podemos llamarla ‘uno’, a otra ‘dos’, a otra ‘tres’… Podemos nombrar todas las naranjas de ese conjunto con los números naturales en orden, un número para cada una. El nombre de la última se llama entonces cantidad de naranjas de ese conjunto. Si hacemos lo mismo con otros conjuntos de naranjas, podemos saber la cantidad de naranjas de cada uno, podemos comparar los conjuntos. Esta acción de nombrar en orden con los números naturales los elementos de un conjunto se llama también contar los elementos de ese conjunto, acepción que sí recoge el diccionario de la Real Academia Española.

También nombramos con números naturales para establecer algún tipo de preferencia entre los elementos de un conjunto. Por ejemplo, a los componentes de algunas promociones, o a los aprobados en oposiciones se les da nombres de números para ordenarlos por la cantidad o calidad de los conocimientos que los examinadores han creído percibir en cada uno, para establecer una prelación, para ordenarlos.

Como otros nombres, los números naturales se pueden utilizar solo para identificar. Con números naturales se nombran los jugadores de los equipos de fútbol, de baloncesto; corredores, ciclistas; los portales de las calles, las tarjetas de crédito, los teléfonos, los documentos nacionales de identidad…

Si se nombran objetos con números naturales, algunas propiedades de esos números o todas se pueden utilizar para el mejor conocimiento o la mejor gestión de los objetos que nombran. De continuo lo hacemos así, aunque nos demos poca cuenta de ello.

Final

La definición de números naturales y las propiedades que se deducen de ella se llama teoría de los números naturales. Cualquier teoría matemática es similar: definición o definiciones de objetos inventados, de conceptos, de nombres que relacionamos por el lenguaje, y propiedades de esos objetos deducidas de sus definiciones. Sus teoremas, que es como llamamos a esas propiedades, son formas de expresar lo contenido en las definiciones, de hacerlo más visible, de hacerlo notar diciéndolo de otras maneras.

No es fácil esperar de mecanismo lingüístico tan simple los extraordinarios resultados que la matemática proporciona al conocimiento.