En los números naturales sin el cero la potencia es una forma de abreviar productos de un número por sí mismo. 7³ abrevia 7x7x7,
7x7x7=7³
El 7 se llama base de esa potencia y el 3 exponente. Es la cantidad de veces que se multiplica la base por sí misma. Conviene añadir expresamente que es 7¹=7, pues ‘multiplicar siete por sí mismo una vez‘ no es una expresión clara.
Cuanto mayor sea el exponente más útil es la potencia. No solo porque ahorra trabajo y espacio al escribir, sino, sobre todo, porque ayuda a identificar números y a conocer más de ellos. Sin la potencia, para citar el número 7¹ººº, siete elevado a mil, habría que escribir el producto de mil sietes, difícilmente distinguible del producto de mil un sietes, que es 7¹ºº¹. Con la potencia la distinción entre 7¹ººº y 7¹ºº¹ está clara para todos. Hemos conseguido esa claridad con una solución tan simple como decir ‘el producto de mil sietes‘ y ‘el producto de mil un sietes‘. Eso es justo y solo lo que dicen de forma más breve 7¹ººº y 7¹ºº¹. Como se ve, la potencia es un recurso del lenguaje para facilitar el empleo del propio lenguaje, para entender. Sin su lenguaje abreviado, la utilidad y el desarrollo de las matemáticas estarían notablemente menguados.
De la definición de potencia resulta que 7³ se puede escribir
7¹x7²=7x7x7=7³=7¹+²
La igualdad entre el primer miembro y el último,
7¹x7²= 7¹+²,
muestra que el producto de potencias con la misma base es otra potencia con esa base y exponente la suma de los exponentes. Así es para todos los números naturales sin el cero:
nmnm‘=nm+m’
Al añadir el 0 se procura que el lenguaje que se tiene siga sirviendo. En concreto que el producto de potencias de la misma base sea otra potencia con esa base y exponente la suma de los exponentes. Como, añadido el cero, es 3=3+0 (artículo de este blog de 25 febrero de 2020), se intenta que sea
7³=7³+º=7³x7º
Se ve que el último miembro es igual a los anteriores solo si 7º=1. Y para cualquier número n ha de ser nº=1 si queremos que en el conjunto de los números naturales con el cero sea
nmn0 =nm+0
Razones así, exigencias del lenguaje como esta, son las que justifican que nº sea otra forma de escribir 1. Porque, con la definición de arriba, 7º significaría multiplicar 7 por sí mismo 0 veces, frase que no significa nada, que no tiene contenido.
Se podía no haber identificado nº con ningún número y no utilizar esa expresión, como no se utiliza ‘nagua‘, ‘n elevado a agua’, porque no la hemos hecho número. Pero se prefiere que sea nº=1 porque así resulta nmnm‘=nm+m’ para todos los números naturales con el cero. Esa solución es también conveniente en las sucesivas ampliaciones de los números naturales. Por eso que nº sea otra forma de escribir 1, que es lo que expresa nº=1, resulta un buen arreglo. Como tantos arreglos del resto del lenguaje.
