En cada paso de nuestras vidas, por pequeño que sea, estamos eligiendo un camino y dejando otro atrás, a veces sin ser conscientes, pero otras veces… hay que ver cuánto nos cuesta decidir (del latín “decidére”, que significa cortar, quién sabe si por lo sano…). Sobre todo, cuando se trata de cuestiones que se presentan dudosas y no es sencillo formarse un juicio resolutorio sobre ellas. En esas situaciones, para ayudarnos a reflexionar antes de hacer nuestra elección, podemos acudir a la Teoría de la Decisión, que se dedica a estudiar qué acción nos conducirá al mejor resultado, dadas nuestras preferencias. Y como tales preferencias pueden ser de lo más variadas, en esta teoría se unen la psicología, la economía y otras ciencias, entre las que no podían faltar las matemáticas.

Para explicar cómo se pueden aplicar algunos cálculos sencillos para orientarnos ante determinadas decisiones, nada mejor que un buen ejemplo: el que se planteaba en aquel popular concurso de la televisión española de los años 70 del siglo pasado, “Un, dos, tres… responda otra vez”. ¿Recuerdan el juego con el que finalizaba cada programa? El presentador situaba a los concursantes ante tres puertas cerradas, detrás de una de ellas había un coche, y detrás de las otras dos, una calabaza. Y pedía que, en una 1ª decisión, se quedaran con una de ellas, en la que creyeran que estaría el coche. Hasta ahí, tenían 1 opción entre 3 de acertar. Pero luego el presentador abría una de las dos puertas no elegidas, siempre en la que había una calabaza (porque él sí que sabía lo que ocultaba cada puerta), y se la enseñaba a los concursantes, a los que les planteaba una 2ª decisión: ¿quieren cambiar ahora, a la vista de esa calabaza, la primera puerta que habían elegido por la otra que queda sin abrir?

Realmente, este juego no es original del concurso español, sino que apareció una década antes en un concurso de la televisión estadounidense, llamado “Let’s Make a Deal” (Hagamos un trato), cuyo presentador era el canadiense Monty Hall. De ahí que, cuando surgió el interés matemático por este juego, se bautizara con su nombre lo que hoy en día se conoce como “el problema de Monty Hall”.

Para responder a la pregunta del presentador, se podría pensar: ya he visto que en una de las puertas que no elegí había una calabaza, pero qué más da quedarme con la puerta que elegí al principio que con la otra que queda sin abrir, total, no hay diferencia, todas tienen la misma probabilidad de que detrás esté el coche, 1/3… ¿o no? La verdad es que la pregunta tiene truco, así que vamos a pensar un poco más despacio, y construir lo que los matemáticos denominamos el árbol de decisión de este juego.

Es correcto que en la 1ª decisión, cuando las tres puertas están sin abrir, elegir la que tiene el coche tiene una probabilidad de 1/3, y elegir una que tenga calabaza 2/3. Usted no cuenta con más datos para decidir, así que la puerta elegida lo será por puro azar: puede que haya acertado con el coche (1/3) o una calabaza (2/3). Pero el presentador sí que conoce lo que hay detrás de cada puerta, y cuando usted ha elegido una de ellas, sea la que sea, el presentador sabe que en alguna de las otras dos puertas (o incluso en las dos, si la que usted eligió es la del coche) hay una calabaza, y sabiendo eso, es cuando le abre una puerta que tiene una calabaza y le plantea una 2ª decisión.

Así que usted tenía en la 1ª decisión una probabilidad de 1/3 de acertar con la puerta del coche, y si se queda con la puerta elegida, mantiene esa probabilidad de 1/3. Pero si en la 2ª decisión elige cambiar, ganaría cuando el coche estuviera en la otra puerta, esa que usted no había elegido al principio y que el presentador no ha abierto, es decir, ganaría cuando la puerta de la 1ª decisión hubiera sido una de las que tiene una calabaza, y eso es algo que tiene una probabilidad de 2/3 ¡El doble que 1/3!

¿Sorprendente? ¿Paradójico? No crean, puro juego de probabilidad condicionada, pues el presentador, cuando abre una puerta con calabaza, no está eligiendo al azar, sino utiliza una información, que condiciona la probabilidad en la segunda elección. Eso sí, con 1/3 o con 2/3 de probabilidades, el coche no se asegura con ninguna decisión. Y por eso los juegos son juegos, y ¿qué es la vida sino un juego, presentado quizás por algún ser divino, que disfruta haciendo su papel de Monty Hall con nosotros?