La creación de los números se inicia llamando ‘número natural’ al símbolo ‘1’ (números naturales son 1 y cada n+1 si n es número natural). El resto de los que hemos tratado en artículos de este blog significan una relación con otros números:

2 abrevia 1+1;
3 es 2+1;
a 2/5 lo hace número (2/5)5=2;
y a ⁹√15 (raíz 9 de 15) la igualdad (⁹√15)⁹=15 (raíz 9 de 15 elevado a 9 igual a 15)

Creando de esta manera números, símbolos que significan relaciones con otros números, se ha llegado al conjunto más amplio de los que en estos artículos hemos tratado, a las raíces de los números racionales, que son todos los racionales e infinitos irracionales (artículo de este blog de 5 de octubre de 2021). De cada par de ellos sabemos cuál es el mayor. Sin embargo, también se llaman números a símbolos que no significan relación con otros números. π, el número pi, es uno. Sobre él comentamos.

La circunferencia y su diámetro

Cualquier longitud se puede utilizar como vara, como unidad de medida. Una circunferencia se puede medir con su diámetro. El resultado es tres diámetros y un poco más. Ese poco más se señala sobre el diámetro y la medida está hecha.

No es posible, sin embargo, nombrar la longitud exacta de una circunferencia con un número racional para compararla con otras longitudes si se nombra con 1 su diámetro. Esto ocurre también con la diagonal del cuadrado y el lado como unidad. Aunque en este caso se designa con el número irracional √2 (raíz cuadrada de 2) del todo comparable con cualquier otra raíz de número racional (artículo de este blog de 14 diciembre de 2021). Pero para la circunferencia no hay una solución así con el diámetro como unidad.

Y es que con el lenguaje podemos crear objetos sin límite. Infinitos de ellos con relaciones innombrables con los números racionales y sus raíces irracionales para los fines de comparación habituales. Uno de estos objetos es la circunferencia. Su definición hace imposible designar su longitud exacta con una raíz de número racional si se ha designado con otra su diámetro, y viceversa.

Pero de los números, como del resto del lenguaje, nos servimos como convenga. Por ejemplo, ideando un procedimiento para comparar con ellos las longitudes de todas las circunferencias. Se parte de la propiedad de que si se duplica, triplica, etc. el diámetro, se duplica, triplica, etc. la circunferencia. O, de otra forma, si designamos por L1 la longitud de una circunferencia de diámetro 1,

la de diámetro 2 es 2L1,
la diámetro 3 es 3L1,…,
la de diámetro 1.6 es 1.6L1,…
La longitud L de una circunferencia de diámetro d es L=dL1,

el número con el que se designa el diámetro d expresa las veces que su circunferencia contiene a L1, a la circunferencia de diámetro 1. Por tanto, las longitudes de todas las circunferencias son comparables entre sí por sus diámetros. Aunque seguimos sin poder compararlas con infinitas otras longitudes nombradas con raíces de números racionales.

El número π

A partir del siglo XVII comenzó a designarse la longitud de la circunferencia de diámetro 1 con la letra griega π, pi; a escribir π donde aquí escribimos L1. Parece que por las palabras περιφέρεια y περίμετρον (periferia y perímetro), que empiezan por π. Así, para la expresión que aquí escribimos L=dL1 fue quedando

L=dπ

Y dπ es hoy la forma de designar la longitud de una circunferencia de diámetro d:

2π es longitud de una circunferencia de diámetro 2;
(2/3)π longitud de una circunferencia de diámetro 2/3;
1.4π longitud de una circunferencia de diámetro 1.4;
(√2)π longitud de una circunferencia de diámetro √2; y
π longitud de una circunferencia de diámetro 1.

El símbolo π significa, por tanto, ‘longitud de una circunferencia de diámetro 1′. Todo lo que π expresa se deduce de esa definición.

Pero a partir de ella se ha ido creando una estructura constituida por los números y el símbolo añadido π que sobrepasa el objetivo inicial de comparar circunferencias, pues sirve para expresar relaciones entre otros objetos. Esas relaciones se deducen de las definiciones de esos objetos y la de π. Un ejemplo inmediato es el círculo, ‘superficie interior de una circunferencia’. De su definición y la de π esa superficie resulta (d/2)²π (d/2 elevado al cuadrado por π), comparable con cualquier otro círculo también por los números que nombran sus diámetros. Quizá utilidades de π como estas propiciaron que se le llamara número aunque no es un símbolo cuya definición sea una relación con otros números. Es la expresión abreviada de ‘longitud de una circunferencia cuyo diámetro se ha designado con 1′. Y como no es racional, se le llamó número irracional.

Pero la estructura creada con el símbolo π añadido está separada del resto de los números en el sentido de que cualquier expresión que contenga π no se puede escribir con otros números. Se debe a que π no significa ninguna relación con ellos. Así que todas las expresiones con π forman algo así como un mundo aparte.

Sin embargo, como con el resto del lenguaje, con el de los números se pueden buscar soluciones, arreglos.

Aproximación de π por números racionales

Medir longitudes es compararlas entre sí. Cualquiera es medible con una señal en la vara. Esta acción, señalar en la vara, es experimental, sus resultados son aproximados. Por tanto, el conocimiento de que una longitud exacta no se puede expresar con un número, no se debe nunca a una medida. Que la diagonal del cuadrado no sea un número racional si el lado es la unidad está contenido en la definición de cuadrado. Solo porque el lado es 1 la diagonal es √2. De ninguna medida resulta ese conocimiento. Tampoco que la longitud de una circunferencia no es una raíz de un número racional se sabe por medirla. Es un contenido de su definición.

Pero que, elegida la unidad, algunas longitudes – infinitas – no se puedan expresar exactamente con números racionales o con sus raíces irracionales no afecta a la acción de medirlas. Al hacerlo sobre una circunferencia, su longitud resulta tres veces su diámetro y un poco más. Significa que π es mayor que 3 y menor que 4. Esa aproximación puede ser suficiente para algunos fines. No es extraño que la historia muestre que en épocas lejanas lo ha sido. Lo sigue siendo en ocasiones. Una pared que divida en dos partes iguales una finca limitada por un muro circular será aproximadamente la tercera parte de la longitud del muro. Con solo una cuerda de longitud el diámetro se puede comprobar. Incluso con más precisión si se divide la cuerda en diez partes iguales. Quizá seamos entonces capaces de ver que, tras colocarla sucesivamente 3 veces sobre la circunferencia, en la cuarta el final de la circunferencia sobrepasa la primera señal y no llega a la segunda. Eso quiere decir que π es mayor que 3.1 y menor que 3.2.

Pero hay procedimientos seguros para aproximar por números racionales la longitud de una circunferencia de diámetro 1. Utilizan las definiciones de los objetos que manejan, no emplean medidas. La idea del más conocido se atribuye a Arquímedes, que vivió en los siglos III y II antes de Cristo. Consiste en encajar la circunferencia entre pares de polígonos regulares, uno inscrito en ella y otro circunscrito. Su longitud resulta así siempre mayor que el perímetro del inscrito y menor que el del circunscrito, ambos deducibles de sus definiciones. La parte común de los dos números decimales que expresan la longitud de los perímetros es una aproximación segura de π. Si se aumenta el número de los lados de los polígonos, sus dos perímetros se aproximan, y la cantidad de cifras decimales comunes en los dos aumenta.

Con procedimientos como este o similares se aproxima la longitud de una circunferencia de diámetro 1 por números decimales. Hoy, con la ayuda de los ordenadores, con más de dos billones de cifras decimales. Se relaciona así π con cualquier otro número con fines prácticos, como para comparar circunferencias con otras longitudes.

Pero en realidad π no queda incorporado a los números. Aproximarlo es sustituirlo por un decimal no equivalente a él, equivalencia que no existe. Aproximar π implica en realidad no usar el símbolo π, no usar el número π.