Llamaremos aquí lenguaje recursivo a cada lenguaje o parte de él cuyos nombres expresan su relación con otros nombres. Los números naturales son lenguaje recursivo, pues son nombres, símbolos, que solo expresan relaciones entre ellos: ‘2’ es ‘el siguiente de 1′; ‘3’ es ‘el siguiente de 2′;… Con lenguaje recursivo se pueden crear conjuntos infinitos, como el conjunto de los números naturales.

Que el conjunto de los números naturales es infinito significa que no hay un número natural último, ya que la expresión ‘el siguiente de ese número natural‘ es otro número natural. Así que ‘infinito‘ tiene para los números naturales significado preciso, nada misterioso. Nombra un contenido de el siguiente de cualquier número natural es un número natural. Si n es número natural lo son ‘el siguiente de n‘, ‘el siguiente del siguiente de n‘,…, una sucesión de nombres, de símbolos sin fin, no finita, in-finita.

Números enteros negativos son las expresiones ‘el anterior de cero‘, ‘el anterior del anterior de cero‘… (artículo de este blog de 6 mayo de 2020). También lenguaje recursivo. Como ‘el anterior de cada número entero negativo‘ es otro número entero negativo, tampoco el conjunto de los números enteros negativos tiene fin, es infinito.

Con las palabras o símbolos que constituyen el lenguaje recursivo de los números se pueden crear más conjuntos infinitos. Ya conocemos infinitos de ellos. Vimos (artículo de este blog de 17 de octubre de 2018) que el conjunto de los múltiplos de dos no tiene fin, es infinito. También lo es el de los múltiplos de tres, el de los múltiplos cuatro,…, el de los múltiplos de cualquier número natural. Y como el conjunto de los números naturales es infinito, el conjunto de los conjuntos de los múltiplos de los números naturales es infinito, un conjunto de infinitos conjuntos infinitos.

Hay más dificultad en identificar tanto ‘infinito’ en las últimas frases que en entender el significado de cada ‘infinito‘ de los citados, que solo significa que no hay último.

Podemos seguir descubriendo conjuntos infinitos. Por ejemplo, cada número entero se puede escribir de infinitas formas. Así, expresiones equivalentes de ‘uno‘ son

1; 1+0; 1+0+0;…
1×1; 1x1x1;…
1¹; 1²; 1³….
1⁰; 2⁰; 3⁰;…
….

Cada línea indica un conjunto de infinitos símbolos para ‘uno‘. Y líneas así hay infinitas.

Cada una de las siguientes muestra infinitas formas de escribir ‘tres‘, y también hay infinitas posibles de ellas:

4-1; 5-2; 6-3;…
3×1⁰; 3×2⁰; 3×3⁰;…
(5-2)x(5-4); (6-3)x(6-5); (7-4)x(7-6);…
3^(7-6); 3^(8-7); 3^(9-8);…
…

Y las siguientes indican infinitas formas cada una de cualquiera de los infinitos números enteros n si m es también cualquiera de esos infinitos números:

m+(5-4)(n-m)
2(n-m)-(n-2m)
m⁰-1+n
n(2m⁰-1)
…

Son infinitas líneas con infinitos símbolos cada una para cada uno de los infinitos números enteros.

Un contenido de lo dicho hasta aquí es que basta considerar los conjuntos infinitos de los números naturales para darnos cuenta de que hay infinitos conjuntos infinitos. O, como se prefiere decir a veces, que el conjunto de los conjuntos infinitos es infinito.

Otro contenido es que hay infinitas formas de cualquier número que nadie ha utilizado ni utilizará nunca. Pero cada una es reconocible y la podemos usar por poco que manejemos el lenguaje de los números. Por ejemplo, es escasamente probable que la expresión

3+3333333333333⁰

haya sido escrita alguna vez antes de ahora. Pero enseguida vemos que es una forma de escribir 4:

3+3333333333333⁰=3+1=4

El lenguaje recursivo de los números permite crear infinitos conjuntos infinitos. Entre ellos infinitos conjuntos de expresiones equivalentes de cada uno de los infinitos números. Cualquiera de esos símbolos o palabras se puede distinguir inequívocamente de los demás, y utilizarlos aunque no los hayamos visto ni escrito nunca.