Cualquier longitud se puede utilizar como vara de medir, como unidad. Por ejemplo, si el lado de un cuadrado se lleva sucesivamente sobre su diagonal, el resultado es un lado y un poco más. Ese poco más lo indicaríamos con una señal sobre el lado. Con él y la señal podemos reproducir la longitud de la diagonal y compararla con otras, que es para lo que medir sirve.

La comodidad y la eficacia aumentan si los resultados de las medidas se designan por nombres que sirvan para comparar unas con otras. En principio no parece posible, pues no hay límite para las que con cada vara se pueden hacer, son infinitas. Pero en tiempos de Pitágoras, siglos VI y V antes de Cristo, esa dificultad parecía resuelta. Se daba nombre a cada medida como hacemos hoy, con los números racionales. El procedimiento consiste en dividir la vara, la unidad, en partes iguales. Si el número de esas partes es 3, la primera se nombra con 1/3, la segunda con 2/3 y la tercera con 3/3. Si se divide en 38, la primera es 1/38 y la vigésima quinta 25/38. Así, solo con el número, pueden compararse las longitudes, saber de cada dos cuál es mayor y cuál menor. Además, basta aumentar las divisiones de la vara para que alguna coincida con el extremo de cualquier longitud y así nombrarla.

O eso se creía. Porque alguien del grupo de Pitágoras se dio cuenta de que la diagonal de un cuadrado no se puede nombrar con un número racional si se usa el lado como unidad. Con nuestro lenguaje actual, se debe a que la definición de cuadrado, ‘polígono de cuatro lados iguales y ángulos también iguales’, contiene que si la longitud del lado es 1 (uno), la de su diagonal es √2, ‘raíz cuadrada de 2’. Y como √2 no es número racional (artículo de este blog de 5 octubre de 2021), ninguna división coincide exactamente con el final de la diagonal por muchas que sean las partes iguales en que el lado se divida. Esto fue bien conocido por los filósofos posteriores. Traducciones de por medio, a ello se refieren con expresiones como “la relación entre la diagonal y el lado del cuadrado es inconmensurable” (Aristóteles en su Metafísica). E ‘inconmensurable’ sigue siendo el calificativo para esa relación.

Inconmensurable

Pero conviene algún comentario.

Que dos longitudes son inconmensurables significa etimológicamente que ninguna de ellas se puede medir con la otra como unidad. Sin embargo, ‘medir longitudes’ designa la acción de compararlas por medio de señales en la vara. Eso ha sido ‘medir’ durante milenios y eso sigue siendo. Y así se puede medir la diagonal del cuadrado con el lado.

Otro significado, más completo, de ‘medir’ es ‘designar con números siguiendo criterios de comparación’ (artículo de este blog de 18 mayo de 2021). ¿Es posible asignar un número a la longitud de la diagonal si se toma el lado como unidad? Hoy la respuesta es sí. Porque asignar 1 (uno) al lado es asignar √2 a la diagonal. Y √2 es un número comparable con todas las raíces de los números racionales, que son todos los racionales e infinitos irracionales (artículo de este blog de 5 octubre de 2021). Por tanto la diagonal es del todo medible con el lado como unidad: si el lado es 1 (uno) la diagonal es exactamente √2.

A pesar de lo dicho, el calificativo ‘inconmensurables’ permanece para el lado y la diagonal del cuadrado. El Diccionario de la Lengua Española incluye una segunda acepción para ‘conmensurable’ que parece incorporada con ese fin: “Mat. Dicho de dos cantidades: Que tienen como razón un número racional”. Como el cociente entre la longitud de la diagonal y la del lado es √2, que no es número racional, según esta acepción la diagonal y el lado no son conmensurables, son inconmensurables.

Así que, por una parte, como son medibles con la misma unidad, son conmensurables. Por otra, como el cociente de los resultados no es número racional, son no conmensurables, inconmensurables. Una cosa y su contraria. Poder que la historia da a las palabras.

Pero, dejando aparte los adjetivos, lo que ocurre es que el lenguaje de que se dispone en cada momento, incluido el lenguaje de los números, llega hasta donde llega. Así, con los números enteros solo se pueden designar resultados de longitudes múltiplos de la unidad de medida: 1 vara, 2 varas, 3 varas,… Con los racionales es posible nombrar esos mismos resultados e infinitos más, como 21/2, 1/3, 29/5,…, pero no todos. Y hoy, con las raíces de los números racionales, se pueden designar los anteriores e infinitos más, como 3√20, 31√5,… y √2,…, aunque tampoco todos.

Y es que, como el resto del lenguaje, el de los números se ha ido creando, se va creando. A veces con la necesidad como incentivo.