Habíamos quedado (artículos de este blog de 27 de julio de 2017 y 6 de junio de 2018) que números naturales son 1 y cada  n+1 si n es número natural. Son un nombre cualquiera, su siguiente, el siguiente de este, y así sucesivamente. El nombre con el que comenzamos, 1, es número natural por designación directa de la definición, no porque sea el siguiente de otro número natural. O, dicho de otra forma, todos los números naturales tienen su siguiente, y todos excepto el 1 tienen su anterior. Un contenido de la afirmación todo número natural tiene su siguiente es que no existe número natural último, que el conjunto de los números naturales es infinito.

Añadir “+1” a un número natural es nuestra manera de abreviar “el siguiente de ese número natural”. Así 2+1 significa “el siguiente de 2”, que llamamos 3. Con el signo igual, “=”, decimos que lo escrito a sus dos lados designa el mismo número:

2=1+1
3=1+1+1
4=1+1+1+1
…       ….

Con estas formas que hemos ido creando para decir contenidos de la definición de números naturales hemos escrito el dos, el tres y el cuatro como suma de solo unos. Como el siguiente de cualquier número natural n es n+1, si n se puede escribir como suma de solo unos, también su siguiente n+1 resulta suma de solo unos. Por tanto todos los números naturales a partir del 2 se pueden escribir como sumas de solo unos. Llamaremos múltiplos de uno al 1 y a todos los números naturales que se pueden escribir como suma de solo unos. Resulta entonces que todo número natural es múltiplo de 1.

Los números 4 y 6 se pueden escribir como suma de solo doses: 4=2+2; 6=2+2+2. Al 2 y a todos los números naturales que se pueden escribir como suma de solo doses los llamaremos múltiplos de dos. Por tanto 2, 4 y 6 son múltiplos de dos. Si un número natural n se puede escribir como sumas de solo doses, n+2 también se puede escribir como suma de solo doses. Así 8=6+2=2+2+2+2 es múltiplo de dos. Y no hay un múltiplo de dos último, pues sumándole 2 resulta otro múltiplo de dos. Un contenido de esta afirmación es que el conjunto de los múltiplos de dos es infinito.

De formas parecidas se ve que hay infinitos múltiplos de 3, de 4, de 5…; que hay infinitos múltiplos de cualquier número natural. Y resulta que el conjunto de los números naturales contiene infinitos conjuntos que también son infinitos.

Hay números que no se pueden escribir como suma de solo otro número repetido que no sea 1. Por ejemplo, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,… Los llamamos números primos.

Deducir

Y podríamos seguir diciendo, poniendo de manifiesto, destapando, descubriendo contenidos de la definición de números naturales. Cada expresión a la que así se llega se llama propiedad de los números naturales. La acción por la que se llega se llama deducción. Consiste, como hemos dicho y hecho, en ” ir diciendo de otras maneras contenidos de la definición“, poniendo esos contenidos más visibles, descubriéndolos con el lenguaje de que se disponga y creando el que para ello se necesite.

Que todos los números naturales excepto el 1 tienen su anterior,
que el conjunto de los números naturales es infinito,
que todos los números naturales son múltiplos de uno,
que hay infinitos números naturales múltiplos de dos,
que hay infinitos múltiplos de cualquier número natural,
que el conjunto de los números naturales contiene infinitos conjuntos infinitos,
que hay números primos

son formas de decir contenidos de la definición, contenidos que hemos destapado, descubierto, que hemos hecho más visibles para mejor notarlos, para darnos cuenta de ellos más claramente o del todo. No hay en cada afirmación absolutamente nada que no esté en la definición. En nuestra acción de destapar, de descubrir lo que contiene, solo creamos, vamos creando nombres, símbolos, lenguaje para expresar esos contenidos de forma corta, sintética, más visible, automática, exacta, más conveniente. Pero siempre lo que decimos está contenido en la definición.

Y es que no se puede deducir de otra manera. Solo es posible deducir diciendo exactamente contenidos de la definición. La lógica no puede ser otra cosa que decir contenidos de lo ya dicho, lo mismo. No hay otra posibilidad de seguridad total. Y por eso lo deducido es seguro, es cierto, absolutamente cierto. Cierto para lo ya dicho, para lo definido, para lo contenido en la definición. No para otra cosa. No para nada exterior a lo dicho. Eso viene después, si viene. Si podemos encajar el exterior en la estructura lingüística que hemos creado. Y ese “si podemos” indica acción experimental, que hay que comprobar. Si vale vale y si no vale no vale. Y vale hasta donde valga. Puede ser útil para algunas cosas y no para otras. Lo vimos para la suma: de la reunión de dos cosas y otras dos cosas puede que no resulten cuatro de esas cosas, porque eso depende del exterior, de las cosas, de lo que se reúna y de cómo se reúna, no de los números, no del lenguaje (artículo de este blog de 6 de junio de 2018).

Dos son, al menos, los objetivos que se persiguen al decir de otras maneras lo ya dicho. Uno es hacerlo notar, hacerlo más visible o del todo visible, destaparlo, descubrirlo. Otro, no independiente del anterior, es hacerlo utilizable, más utilizable para poder emplearlo donde convenga. Expresiones largas se simplifican con frases, nombres o símbolos sencillos equivalentes. Con ellos se automatiza el lenguaje, se facilita su empleo para lo que interese. También para desarrollar la teoría, que es como se llama a seguir deduciendo, mostrando contenidos de la definición de números naturales.

Encontrar formas y reglas para expresar de manera fácil, sintética, exacta, automática, contenidos de lo ya dicho ha sido esencial en el progreso de la parte del lenguaje que llamamos matemáticas. Así se ha hecho posible su empleo en la ciencia, en la ingeniería, en la vida. Por ejemplo, el sistema de numeración decimal permite escribir y nombrar cualquier número natural. Es una parte del lenguaje hecha con reglas precisas y fáciles para crear nombres y símbolos tales que de cada uno sabemos cuál es su siguiente. Sin esa regla, sin ese sistema no se hubiera podido avanzar en la estructura lingüística que llamamos números naturales, no hubiera sido posible ni siquiera tener idea, situar, captar algo del número natural 2018. No hablemos de otros siguientes. Y no digamos de utilizarlos.

Pero la acción que aquí llamamos lógica, “decir de otras maneras contenidos de lo ya dicho“, expresarlos de formas más visibles, sencillas, sintéticas, automáticas, utilizables, no es actividad exclusiva de la parte del lenguaje que llamamos matemáticas. Desarrollar de esa forma estructuras lingüísticas ha sido y es quehacer habitual del ser humano. Y lo deducido en algunas de ellas es tan preciso y seguro como lo deducido en las matemáticas. Así, como en la estructura lingüística del parentesco hemos decidido que la expresión “hermano del padre de” equivalga a “tío paterno de”, resulta que “hermanos de padre tienen los mismos tíos paternos”. Una deducción tan exacta como que es 5=3+2.