“Hey, colegas, ¿nos hacemos un mannequin challenge?”. Es la frase que se oía por doquier hace unos meses: en los círculos de amigos, en reuniones familiares, en la tele, en la Nochebuena Universitaria pretendiendo batir un récord… Congelar el tiempo, parar el movimiento, recordar el instante, el tiempo se nos va y queremos atraparlo. La fotografía es rápida, décimas de segundo en un clic y es momento es tuyo.

Hace unas décadas (hacia 1964) se hicieron famosas unas fotos de H. Edgerton donde se ve una bala -nítida- que acaba de atravesar una manzana o una carta de baraja, obtenidas con velocidades de obturación y destellos de flash rapidísimos.

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Pensemos que un parpadeo dura una décima de segundo. Un colibrí aletea hasta 200 veces por segundo, algunos insectos hasta 600 veces. El mismo Edgerton consiguió velocidades de obturación o destellos de luz de hasta 1/4.000.000 de segundo (el resultado de dividir un segundo en cuatro millones de partes). Más que suficiente para congelar en su trayectoria una bala recién disparada.

Así, pues, nos preguntamos ¿hasta dónde se puede dividir el tiempo? ¿Podrá ser dividido infinitamente? Incluso, más en general ¿se podrán dividir las magnitudes o propiedades físicas del Universo (el tiempo, la energía, el espacio, la masa…) indefinidamente? En Matemáticas cualquier número, por pequeño que sea, se puede dividir una vez y otra, hasta que se quiera. De igual modo, cualquier número se puede duplicar, multiplicar por dos o tres o diez, una y otra vez, infinitamente, los números nunca se acaban, conocido uno (por muy grande que sea) se puede formar el siguiente. Pero las propiedades físicas no son números.

Por ejemplo, la magnitud que llamamos velocidad, que relaciona el espacio con el tiempo. Se diría que se puede conseguir cualquier velocidad, bastaría acelerar un objeto (un cohete) continuamente durante mucho tiempo. Pero no ocurre tal cosa, se ha comprobado de forma irrefutable, que hay una velocidad máxima imposible de superar, la de la luz en el vacío, aproximadamente 300.000 km por segundo (1.080.000.000 km. por hora). Es una velocidad enorme, fuera de nuestro alcance, pero es el límite superior, y aquí importa saber que HAY un límite superior. Además es siempre la misma, independientemente de cualquier situación, esté la fuente emisora en reposo o en movimiento, en la misma dirección o en la contraria. Por lo que se conoce hasta ahora, es la única magnitud invariable, absoluta.

En sentido contrario, ¿se puede dividir la luz -por ejemplo a la mitad- de forma indefinida? Parecería que sí, como quien cierra el agujero -por el que pasa la luz- a la mitad, luego otra vez la mitad de la mitad, y así sucesivamente. Bastaría tener un cierre de alta precisión para reducir el haz de luz cada vez más, sin llegar nunca a la total oscuridad. Pero no es así, también hay un límite inferior para la luz, hay una unidad mínima de luz (un “cuanto” de luz), el fotón, indivisible, y además responsable de todas las radiaciones electromagnéticas (según la fórmula E=hv  donde E es la energía de la radiación, h es la constante de Planck y v es la frecuencia).

Otra magnitud cuestionable es la masa. Un grano de arena se puede partir en dos, cada parte a su vez dividir en dos, así una y otra vez, pero ¿hasta cuándo? ¿indefinidamente? Pareciera que sí, siempre que dispongamos de herramientas adecuadas… O por el contrario, ¿hay una mínima cantidad de masa que ya es indivisible? Tras la molécula y el átomo, los protones, neutrones y electrones, se han descubierto partículas aún más pequeñas, hadrones, mesones, bariones, bosones, leptones…, llegando al “cuanto” de materia, la partícula o partículas materiales más pequeñas posibles, los quarck y los leptones, de los que hay varias tipos con masas distintas, pero calculadas y conocidas, siendo las más pequeñas del orden de 10 elevado a -31, es decir:

0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 0001 kg.

Así pues, sí hay una cantidad mínima de materia, como predijo Demócrito hace siglos.

Y, en sentido contrario, ¿hay una cantidad máxima de materia en el Universo? ¿O es infinita? Según los últimos cálculos, la masa total del Universo sería aproximadamente del orden de:

1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 00  kg.

(1 seguido de 53 ceros). Cantidad desmesurada, pero FINITA. Así, pues, la masa tiene límites, tanto superior como inferior.

Según las teorías de Einstein, hoy ya comprobadas y fuera de toda duda, la energía y la materia se transforman una en la otra, están relacionadas por la conocida fórmula E=mc2 (E igual a m por c al cuadrado), así que la energía tiene también límites superior e inferior. La máxima cantidad de energía en el Universo puede obtenerse con la fórmula anterior aplicada a la cantidad total de materia. Para la mínima cantidad posible de energía, la unidad indivisible, tenemos el “cuanto” elemental de acción de Planck, representado por “h”, y cuyo valor -calculado y comprobado experimentalmente con precisión-  es de aproximadamente:

h=0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 662  Jxs.

En cuanto a la temperatura, desde hace tiempo se sabe cuál es su valor mínimo, 273,15º  bajo cero, cantidad realmente baja pero no “exageradamente”, de hecho se ha conseguido enfriar sustancias hasta valores muy cercanos a ella. Y, en el lado contrario, dado que hay un valor máximo para la energía -productora del calor-, también hay una temperatura máxima posible, llamada temperatura de Planck, y estimada en:

1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 00 grados, que se calcula fue la temperatura en el Big Bang. Una temperatura ciertamente enorme, pero no infinita.

Otra magnitud muy cercana, es el espacio, la longitud. Un metro se divide en cm, mm, micras (0,000001 metros), nanómetros, picómetros, femtómetros, etc, pero… ¿se puede dividir una longitud lineal dada, indefinidamente? La “lógica” parece decir que sí, basta “ver” la longitud más pequeña que tengamos y “cortarla” por la mitad. Pero… lo de “ver” depende de la luz, y la luz tiene un valor mínimo, por tanto hay una longitud medible mínima. Aunque matemáticamente siempre se puede dividir entre 2 cualquier número, por muy pequeño que sea, en la naturaleza eso no ocurre. Más allá del mínimo posible… no hay longitud, se acaba el espacio. Esta longitud mínima, el “cuanto” de longitud o longitud de Planck se estima en:

0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 01 metros, cantidad realmente infinitesimal. Pero no tan lejos de nuestro alcance, los últimos microscopios de barrido electrónico y de efecto túnel permiten fotografiar átomos o grupos de átomos.

atomos-blog-limites-universoÁtomos de hierro y cobre, fotografiados a través de un microscopio de efecto túnel.

Y en el extremo contrario, el tamaño del Universo, su longitud máxima, calculada por su expansión desde el Big Bang, se estima en 93.000 millones de años luz ( 93 000 000 000 000 000 000 0000 km), al menos el Universo medible, aunque las últimas teorías se inclinan a pensar que es el “real” -¡ya es bastante grande!-.

Bueno, y del tiempo, ¿qué?… nada hay más invariable que el tiempo, inexorable, sigue su curso, nada le detiene… Eso nos parecía, pero no es así. El tiempo varía con el movimiento, se alarga o se encoge, para los objetos que se mueven muy (muy) rápidos el tiempo pasa más despacio, de hecho el tiempo se detendría para quien viaje a la velocidad de la luz. Todo esto lo dice la teoría de la relatividad y la mecánica cuántica, y además se ha comprobado con relojes atómicos en naves espaciales. El tiempo depende de la luz, en el sentido más amplio posible (no solo el día y la noche). Por tanto, el tiempo también tiene sus límites. El límite superior sería la edad del Universo, desde el Big Bang hasta hoy, que se estima en 13.000 millones de años (13 000 000 000 años). Y, en el sentido contrario, el segundo se divide en unidades más pequeñas, microsegundo, nanosegundo, picosegundo, femtosegundo… hasta llegar al tiempo más pequeño posible de medir, el tiempo de Planck, también llamado cronón, que vale aproximadamente:

0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 01 seg., ciertamente una cantidad de tiempo infinitesimal, lejos aún de nuestro alcance. Pero, ¡ojo!, los últimos logros en fotografiar el movimiento han permitido filmar el avance de un rayo de luz incluso rebotando en un espejo, con velocidades de obturación de picosegundos (billonésima parte de un seg.). (Basta buscar “fotografía ultrarrápida comprimida” o “compressed ultrafast photographie CUP”,  hay vídeos que lo muestran).

Así pues, el Universo “conocido” o “medible” es finito, tanto en los extremos superior como inferior. El problema ahora es saber si el Universo “real” (si fuera distinto o más grande) también está limitado. Que, salvo un vuelco en las teorías cosmológicas, todo apunta a que así es. Porque la luz es la misma tanto en el Universo “real” como en el observable. Siendo la luz el “patrón” actual de todas las demás magnitudes del mundo, y teniendo límites la luz, ello limita la masa, la energía, el espacio y el tiempo.

Con lo cual el término “infinito” quedaría sólo para los matemáticos y los poetas. (Sin entrar en consideraciones religiosas… ¿dónde queda Dios, el ente infinito por definición?).

  1. Esto nos hace retomar las paradojas de Zenón sobre la continuidad del movimiento, que nos contaba D. Norberto Cuesta Dutari en sus clases de Cálculo Infinitesimal.

Aquiles y la Tortuga. Aquiles, llamado “el de los pies ligeros”, que mató a Héctor, compite en una carrera contra una tortuga. Como corre mucho más rápido que ella, le da una  ventajilla. ¡Qué menos!. Al dar la salida, Aquiles recorre enseguida la distancia que los separaba inicialmente, pero al llegar allí descubre que la tortuga ya no está, ha avanzado un pequeño espacio. Aquiles sigue corriendo, pero al llegar de nuevo donde estaba la tortuga, ésta ha avanzado un poco más. Y así sucesivamente. De este modo, Aquiles no ganará nunca, ya que la tortuga estará siempre por delante de él.

La flecha y la diana. En esta paradoja, se lanza una flecha. El arquero está a ocho metros de la diana (por ejemplo). La flecha, para llegar a la diana, tiene que recorrer antes la primera mitad, los primeros cuatro metros. En ello emplea un tiempo. Le quedan por recorrer otros cuatro. Entonces deberá recorrer primero la mitad, dos metros, en lo que emplea más tiempo. Una vez llegue a estar a dos metros de la diana, deberá recorrer primero la mitad, un metro, empleando aún más tiempo. Y cuando esté a un metro de la diana, deberá recorrer primero medio metro, empleando un tiempo, y así sucesivamente, siempre faltará un pequeño espacio por recorrer a la flecha y nunca llegará a la diana: tardaría un tiempo infinito, resultado de sumar todos esos infinitos tiempos parciales.

Los matemáticos resuelven el problema con el Cálculo Infinitesimal, con el concepto de límite y de serie infinita, demostrando que una suma de infinitos números (cada vez más pequeños) puede dar una suma finita, por ejemplo  1+1/2+1/4+1/8+1/16+… (infinitos sumandos)=2. Ni más ni menos. Con lo cual la suma de los tiempos contabilizados para la flecha sería finita, y la flecha llegaría a la diana.

Pero ahora no necesitamos el Cálculo Infinitesimal para refutar las paradojas de Zenón, porque Zenón supone que el espacio y el tiempo son infinitamente divisibles en partes cada vez más pequeñas. Pero eso no es así, llega un momento (finito) en que el espacio que separa la flecha de la diana, se termina, no hay espacio para poder dividirlo, no hay siguiente mitad por recorrer, sencillamente la siguiente posición de la flecha es… la diana. Y el mismo argumento para Aquiles:  alcanza a la tortuga porque la ventaja infinitesimal que pueda tener la tortuga, en una etapa finita se termina, y la tortuga es alcanzada.

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