Los números que llamamos raíces de los números racionales son todos los racionales, como √4, raíz cuadrada de 4, e infinitos irracionales, como 3√4, raíz cúbica de 4. Cada uno significa una relación con los otros. Por ella, de cada dos sabemos cuál es el mayor, lo que los hace útiles para nombrar con criterios de comparación (artículo de este blog de 5 de octubre de 2021).

Los otros irracionales

Pero ni añadiendo a los racionales sus infinitas raíces que son números irracionales cubrimos las necesidades para comparar. La longitud de una circunferencia de diámetro 1, π, es un ejemplo. No es posible designarla con un número que sea raíz de número racional, aunque sí aproximarla (artículo de este blog de 22 de febrero de 2022).

Con el número e ocurre algo similar. Lo que designa no se puede expresar con raíces de números racionales, pero está comprendido entre 2 y 3. Podemos, por tanto, aproximarlo por ellas, por decimales.

Hay infinitos casos en que es imposible nombrar algo con raíces de números racionales y sí aproximarlo. A ese algo, a lo que, fijado un criterio de comparación, no se puede nombrar con raíces de números racionales y sí acotar por dos de ellas, se llama también número irracional. El sujeto neutro, ‘lo que’, de la definición, parece el más adecuado; pues si bien el número irracional π es una longitud, también es el límite de algunas sucesiones. Lo mismo ocurre con e, que suele presentarse como el límite de una sucesión, aunque también equivale a una longitud. Y es que lo que no se puede nombrar y sí aproximar con raíces de números racionales es diverso. De ahí el sujeto neutro.

Pero hay notables diferencias entre las dos clases de irracionales. Una, ya expuesta, es que los primeros, los que son raíces de los racionales, como √5, raíz cuadrada de 5, son símbolos que significan relaciones con los racionales. Por esas relaciones los llamamos números y por ellas son comparables entre sí y con los racionales. Sirven para nombrar lo que convenga al que en cada ocasión los utiliza. No designan nada concreto exterior a ellos (artículo de este blog de 22 mayo de 2019).

Por el contrario, los otros irracionales, los que como π y e no son raíces de racionales, se alejan de estas características comunes a todos los números anteriores. No significan relaciones entre ellos. Además, salvo π, e y un par más, el resto carece de símbolos y nombres. Ni siquiera disponemos de un procedimiento sistemático para identificarlos ni, por tanto, para asignárselos. Cada uno ha de conocerse por una descripción específica. Lo que se entienda con ella, y el símbolo con el que lo designemos, si elegimos alguno, es uno de estos números irracionales. Aunque solo si se deduce de su definición que no es nombrable por una raíz de número racional pero que está acotado por dos de ellas, conocimiento que puede no alcanzarse de inmediato. Por otra parte, la comparación con el resto de números, que es la gran utilidad del lenguaje de los números, es solo posible por sus aproximaciones. Pero, incluso si esa aproximación llega a billones de cifras decimales, la comparación con infinitos números sigue siendo imposible.

En resumen, una clasificación de los números irracionales es: las raíces de los números racionales que no son números racionales por una parte; y por otra, todo lo que, fijado un criterio de comparación, no se puede nombrar con raíces de números racionales y sí acotar por ellas. Aun sin las características esenciales de los números anteriores, los elementos de esta segunda clase también se llaman números.