El producto, que llamamos también multiplicación, simplifica las sumas de números naturales repetidos. 2+2+2 se abrevia por 3×2, tres veces dos. Si los números se indican por letras, se prefiere eliminar el signo ‘por‘ entre ellas. Así mxn, (m por n), se escribe mn. Abreviar es esencia de las matemáticas. Se descubren después características de ese lenguaje simplificado, contenidos de lo dicho. Son los teoremas. Por ejemplo, se deduce que
3×2=2×3,
la propiedad conmutativa de la forma de abreviar que hemos llamado producto. También que
(2+1)x2=2×2+1×2,
la propiedad distributiva del producto respecto a la suma.
La potencia es igualmente simplificación. Ahora del producto repetido de un número natural por sí mismo:
2x2x2=2³
Pero ya vimos que parte del lenguaje de los números naturales carece de significado al incorporarles el cero. Así, n elevado a cero, n0, sería multiplicar n por sí mismo cero veces, expresión sin contenido, sin significado. Sin embargo pareció conveniente identificar n0 con 1 (artículo de este blog de 1 abril de 2020). Llamamos arreglo a esa decisión. Consiste en añadir a la definición de potencia que
n0=1,
que n0 sea otra forma de escribir 1.
Al incorporar los números enteros negativos (artículo de este blog de 6 de mayo de 2020), al añadirlos a los números naturales con el cero, ocurre algo parecido. Las operaciones anteriores, las de los números naturales con el cero, se adaptan a lo nuevo sin alterarlas para lo anterior. Así, sin necesidad de demasiado esfuerzo, en
-2-2-2=-(2+2+2)=-6
se considera -2-2-2 la suma de 3 veces -2, y se abrevia con
3x(-2)=-(3×2)=-3×2=-6,
más tres por menos dos igual a menos seis, y
menos tres por más dos igual a menos seis,
más por menos es menos y menos por más es menos.
Pero (-3)x(-2), multiplicar -3 por -2, sería sumar menos tres veces ‘menos dos‘, expresión sin significado. Podemos desde luego no asignárselo. O podemos dárselo adaptando el producto sin alterar el de los números naturales con el cero. Eso es lo que se hace. Por ejemplo, como es
3=8-5,
el producto anterior, 3x(-2), que es -6, se escribe también
(8-5)(-2)
Aplicándole la propiedad distributiva queda
8x(-2)+(-5)x(-2)=-16+(-5)x(-2)
Para que ese resultado siga siendo el número -6, que es lo que queremos, para que sea
-16+(-5)x(-2) =-6
(-5)x(-2) debe ser 10, más diez,
(-5)x(-2)=10,
menos cinco por menos dos igual a más diez.
Y en eso se ha quedado. En que el producto de dos números negativos sea positivo, en
menos por menos es más,
otro ajuste que conviene a la estructura lingüística que se va construyendo, a las matemáticas.
Arreglos como este y razones similares dificultaban aceptar como números al cero y a los enteros negativos. Durante tiempo, incluido el siglo XVIII, había quienes se referían a los números negativos con nombres como números absurdos o falsos números. Era demasiado visible en ellos lo artificial frente a lo natural con que se mostraba todo en los números naturales, que parecían ser sin necesidad de nada.
