Decir de otras maneras contenidos de lo dicho, deducir, suele sugerir lo nuevo. El producto de números enteros nos encaminó a la creación de los racionales (artículo de este blog de 12 de enero de 2021). La expresión
3×2=6
presenta 3 como ‘número que multiplicado por 2 es 6′. Abreviar lo entrecomillado por
6/2,
generó los símbolos
m/n,
‘número que multiplicado por n es m‘,
(m/n)n=m
Además de designar con ellos los enteros, creamos números nuevos, como 5/2, ‘número que multiplicado por 2 es 5′,
(5/2)x2=5,
A todos los llamamos números racionales. Al extender a ellos la potencia, la de cada racional, (m/n)p, resulta mp/np, el cociente entre las potencias de dos enteros.
Raíces de números enteros
De manera similar
23=8,
presenta 2 como ‘número que elevado a 3 es 8′. Se abrevia por
3√8,
‘número que elevado a 3 es 8′, otra forma de 2. La llamamos ‘raíz 3 de 8’ o ‘raíz cúbica de 8’.
Las infinitas potencias de cada número entero son números enteros:
… … …
(-3)1=-3; (-3)2=9; (-3)3=-27; (-3)4=81; …
(-2)1=-2; (-2)2=4; (-2)3=-8; (-2)4=16; …
(-1)1=-1; (-1)2=1; (-1)3=-1; (-1)4=1; …
01=0; 02=0; 03=0; 04=0; …
11=1; 12=1; 13=1; 14=1; …
21=2; 22=4; 23=8; 24=16; …
31=3; 32=9; 33=27; 34=81; …,
… … …
Así que cada entero se puede escribir con infinitas raíces de números enteros. Por ejemplo, de la última fila,
3=1√3=2√9=3√(27)=4√(81)=..,
infinitas expresiones en forma de raíz para 3. Lo mismo para el resto de los enteros, infinitas raíces para cada uno.
Números irracionales
Infinitos enteros, como
4, 8, 9, 16, 25, 27, 32,…,
son potencias de otros enteros:
4=22=(-2)2
8=23
9=32=(-3)2
16=24=(-2)4=42=(-4)2
25=52=(-5)2
27=33
32=25
…
por lo que sus raíces correspondientes
2√4=±2
3√8=2
2√9=±3
4√(16)=±2
2√(16)=±4
2√(25)=±5
3√(27)=3
5√(32)=2
…
son enteros. Pero otras infinitas raíces de esos mismos enteros no son enteros, como
3√4, 4√4, 5√4, 6√4,…
2√8, 4√8, 5√8, 6√8,…
3√9, 4√9, 5√9, 6√9,…
… …
Hay también enteros,
2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 26, 28, 29, 30, 31,…
que no son potencias de ningún otro, por lo que ninguna de sus raíces es número entero. Si una raíz de un entero no es número entero tampoco lo es racional, pues, por ejemplo, si la raíz cuadrada de 10 fuera racional significaría
2√(10/1)=a/b
con a y b enteros; y también
10/1=a2/b2,
que el cuadrado del número entero a es 10, lo que hemos visto que no ocurre, no hay ningún entero cuyo cuadrado es 10. Por tanto símbolos como
2√2, 3√2, 4√2, 5√2,…
2√3, 3√3, 4√3, 5√3,…
3√4, 4√4, 5√4, 6√4,…
… … …
2√(8/3), 3√(8/3), 4√(8/3),…
… … …
infinitos en cada una de esas infinitas líneas, no son números racionales. Infinitas raíces de cada número racional, excepto de -1, 0 y 1, no son números racionales. Pero cada una expresa una relación con un racional:
2√2 que elevada a 2 es 2; (2√2)2=2
4√4 que elevada a 4 es 4; (4√4)4=4
5√9 que elevada a 5 es 9; (5√9)5=9
6√(8/3) que elevada a 6 es 8/3; (6√(8/3))6=8/3
Esa relación con otro número es lo que cada símbolo sólo significa. Por ella los llamamos números. Irracionales porque no son racionales. Al conjunto que resulta, números racionales e infinitos irracionales, lo llamamos conjunto de las raíces de los números racionales.
Otro arreglo
Que ‘menos por menos sea más‘ implica que ninguna potencia par es número negativo, que, por ejemplo, ‘número que elevado al cuadrado es menos nueve’, 2√(-9), no es número racional. No hay números racionales que sean raíces pares de números negativos. Por eso la solución que se ha adoptado es que todas ellas, todas las raíces pares de números racionales negativos, como
2√(-9), 4√(-7), 26√(-28), 50√(-40/19),…
se excluyen del conjunto de números que llamamos raíces de los números racionales.
Resumen
Cada número racional se puede escribir con infinitas raíces de números racionales. Hay infinitas raíces de cada número racional distinto de -1, 0 y 1 que no son números racionales. Las llamamos números irracionales. El conjunto de las raíces de los números racionales incluye por tanto a los propios racionales y a esos infinitos irracionales. Todos son símbolos que solo significan relaciones con otros números.
Final
El primer acercamiento a lo que hoy llamamos números irracionales parece que fue del grupo de Pitágoras en el siglo V antes de Cristo. Para ellos significó un fallo catastrófico de los números que conocían, los que ahora llamamos racionales. La gran influencia del saber helénico en occidente puede haber sido causa de que, en algún grado, los irracionales sigan percibiéndose como separados de la normalidad de los números. Aquí mostramos que los que son raíces de racionales constituyen una ampliación de los racionales del todo semejante a la que condujo a los propios racionales desde los enteros. Así, como al símbolo
5/2
lo hace número solo su relación con 5,
(5/2)x2=5,
a
6√(8/3)
lo hace número solo su relación con 8/3,
(6√(8/3))6=8/3.
De forma general, la igualdad
(r√(m/n))r=m/n
hace números a los símbolos
r√(m/n);
define, crea, el conjunto de las ‘raíces de los números racionales‘. Cada uno de sus elementos, sea racional o irracional, es identificable, nombrable y comparable con cualquier otro, quizá las características más notables y útiles del lenguaje de los números.
