Con los números naturales nos encontramos cada generación, cada uno. Una forma de conocerlos es por su historia (y por su prehistoria).  “…remontarse al origen de las cosas y seguir atentamente su desenvolvimiento es el camino más seguro para la observación” (Aristóteles). Así venimos acercándonos a ellos en artículos de este blog. La conclusión es que sus primeras formas serían sucesiones equivalentes a ‘este, otro, otro,…’, palabras relacionadas entre ellas de manera similar a muchos hechos y situaciones que percibimos, cada ‘otro‘ indica un anterior. Diciéndolo de otras maneras se llegó a

1, 1+1, 1+1+1,…;

1, 2, 3,…;

1 y cada n+1 si n es número natural.

De cada n+1 decimos que es el siguiente de n y también que es mayor que n (artículo de este blog de 27 de septiembre de 2022).

Una propiedad de los números naturales es que podemos identificar infinitos de sus conjuntos. De cualquiera sabemos si pertenece o no al de los menores que 302 408 936 o de los comprendidos entre 356 y un millón. También si pertenece o no al de los múltiplos de 19, de 106,… Pero es que, por los números, se puede conseguir infinito conocimiento de otros conjuntos. Basta encontrar (o idear) procedimientos adecuados que los relacionen. Contar es el más conocido y el más utilizado.

Contar cosas, objetos, consiste en expresar con 1, 2, 3,… la relación ‘este, otro, otro,…’ que percibimos entre ellos, en nombrarlos con los números naturales en orden empezando por 1. El número que designa al último se llama ‘cantidad‘ de ese conjunto. Por ella podemos conocer infinitas características de los conjuntos. Sin ella ni siquiera sería posible nombrar los de diez millones, los de veinte millones. Ni pensarlos. Pero por sus cantidades sabemos que el segundo tiene el doble de elementos que el primero. ‘Doble‘, otra de las relaciones de los números para conocer los conjuntos. Sin los números, los de más de cincuenta elementos, por decir algo, no existirían para nosotros individualmente. Pero si podemos contarlos o utilizar otros recursos (un conjunto con mil veces los elementos de otro, por ejemplo) para determinar su cantidad, por ella es posible nombrarlos y decir de cada uno las infinitas cosas que se pueden decir de cada número natural (artículo de este blog de 14 de julio de 2020). Aunque sea de un billón de elementos sabemos cuántos conjuntos de ciento veinticinco contiene, cuántos corresponderían a cada persona si los repartiéramos entre mil,…

Ni siquiera hace falta que existan conjuntos de objetos ‘reales‘ para obtener y expresar el conocimiento que por la cantidad conseguimos de ellos. ¿Existe algún conjunto de cien mil cuatrillones de cosas materiales? No parece que nadie pueda saberlo. Aunque sí podemos referirnos a él. En realidad ya lo hemos hecho por el número que es su cantidad. Y, exista o no, por ella conocemos infinitas cosas de él.

Y es que, creados por el lenguaje, sí existen conjuntos de cien mil cuatrillones de elementos. Uno es el de los números naturales del uno a cien mil cuatrillones ambos incluidos; otro, el de dos a cien mil cuatrillones uno; otro el de tres a cien mil cuatrillones dos;…, infinitos; y más infinitos que se le ocurrirán al lector. La identificación de cada uno es tan clara que de cualquier número sabemos si es o no elemento de cada uno de esos infinitos conjuntos. Pero es que, incluso, los cien mil cuatrillones pueden ser de ranas, aunque no existan tantas. No hay límite para crear con los números naturales conjuntos que sin ellos no existirían.

Y, aparte de que sean ranas o palomas ¿se podría ‘ver‘ de muchos conjuntos ‘reales’, algo más que el bulto? A veces a preguntas como esta se responde que sí. Por ejemplo, que emparejando cada elemento de cualquier conjunto con los de cualquier otro se puede saber cuál de ellos es más grande. Y, en efecto, eso de emparejar lo hacemos de continuo…, pero con los números naturales de por medio. Para eso sirve el lenguaje, todo el lenguaje, para reproducir en él hasta donde se pueda ‘la realidad‘ (y más que la realidad). Se la hace así más ‘manejable‘, se la puede conocer mejor, más cómodamente. Contar consiste en eso, en emparejar cada elemento de un conjunto con números naturales, trasladar al lenguaje. Con la cantidad que resulta para cada conjunto las comparaciones son inmediatas. No hace falta emparejar a cada español con un francés para averiguar que Francia tiene más habitantes que España. Basta buscar en internet. La respuesta son dos números naturales.

Sin 1 y cada n+1 si n es número natural, de muchos conjuntos solo podríamos decir ‘grande’, ‘muy grande’, ‘pequeño’ y poco más. Con 1 y cada n+1 si n es número natural, conocer infinitas cosas de cada conjunto es posible.