‘Uno’ y ‘1’ son lo mismo.

‘El siguiente de 1’,  ‘1+1’,  ‘2’  y  ‘dos’  son lo mismo;    2=1+1

‘3’ es lo mismo que ‘2+1’;   3=2+1

4=3+1.

Y así…

1, 2, 3, 4,…, creados de esa manera, son los números naturales: 1 y cada n+1 si n es número natural. Ni siquiera hace falta decir que son nombres. Lo son porque solemos utilizarlos para nombrar (artículo de este blog de 22 mayo de 2019). Pero aquí no nombran nada, son ellos mismos.

Suma

Un contenido de la definición de números naturales es que todos excepto 1 pueden escribirse como sumas de otros. En efecto, solo utilizando lo dicho arriba resulta

4=3+1=2+1+1=1+1+1+1=2+2

Hemos sustituido unos símbolos por otros que acabamos de decidir que sean equivalentes: 3 es 2+1, y 1+1 es 2. Solo lenguaje.

Escribir números como sumas de otros, la suma, no es, por tanto, una ley preexistente, un conocimiento a priori o algo parecido. Es una forma de decir contenidos de la definición de números naturales. Podemos usar la suma donde y cuando sea útil. Pero esa utilidad hay que comprobarla en cada caso. La temperatura del agua de un cuenco en el que se vierte un jarro a 20º y otro a 30º no resulta 50º. Que en el lenguaje de los número naturales 20+30 sea otra forma de escribir 50, o que 7+5 sea otra forma de escribir 12, no impone nada a la realidad exterior a los números. Esa realidad va por su propio camino. Los números pueden servir para describir unas partes de ella y no otras, para ayudar a mejor conocerla unas veces y no otras. Como el resto del lenguaje.

suma

Producto

De la definición de números naturales, de lo dicho arriba, resulta que algunos se pueden escribir como sumas de solo otro número repetido. Por ejemplo, 6 como suma de tres doses: 6=2+2+2. Lo abreviamos con 3×2, y leemos ‘tres veces dos’ o ‘tres por dos’. La acción, la operación de escribir números de esta forma la llamamos producto. Y también llamamos a seis producto de tres por dos, 6=3×2.

Como la suma, el producto es otra forma de expresar contenidos de la definición de números naturales. También, como la suma, puede ser útil unas veces y no otras. Si un litro de aceite de oliva cuesta cuatro euros, el precio de diez litros suele ser diez veces cuatro, 10×4=40 euros. Pero en algunas rebajas que incentivan la compra, diez litros pueden costar menos de cuarenta euros aunque por solo un litro nos cobren cuatro. Que 10×4 sea otra forma de escribir 40 no sirve para hallar lo que en esas rebajas hay que pagar por los diez litros.

producto

Potencia

La potencia es una forma de abreviar productos de números repetidos. Así, el producto de 2 por sí mismo tres veces se llama tercera potencia de 2, que abreviaremos aquí por 2^3 y leemos ‘dos elevado a tres’, 2x2x2=2^3.

La potencia es también una manera de expresar contenidos de la definición de números naturales. Alguien hasta podría llamar perogrulladas a estas formas de hacer, decir de otras maneras contenidos de lo ya dicho. Pero la utilidad para conocer a que esta práctica puede conducir asombra. Eso debió ocurrirle al rey al que el inventor del ajedrez pidió 2 granos de trigo por el primer cuadro del tablero; el doble, 2×2=2^2=4, por el segundo; el doble, 2^3=8, por el tercero; y así hasta el último, el 64, al que le corresponden

2^64=18 446 744 073 709 551 616

2 elevado a 64, más de 18 trillones de granos.

La masa de un grano de trigo suele ser superior a cuarenta miligramos. Pero aunque solo fueran diez miligramos, los 2^64 granos resultarían más de 184 000 millones de toneladas. Parece que la cosecha mundial del año 2018 fue de 759 millones de toneladas. Con ella se necesitarían más de 240 años para reunir el trigo del último cuadro del ajedrez.

potencia

Final

Expresar de otras maneras contenidos de lo ya dicho puede hacer más útil el lenguaje. Las matemáticas emplean ese procedimiento con gran eficacia. Pero no son ni crean ninguna realidad exterior a ellas.

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