Los símbolos … -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,… son la forma más común de los números enteros. Su uso ha ido sugiriendo diversas maneras de escribirlos. Una es el producto. Así 3×2, tres veces dos, es otra forma de 6:

3×2=6

Decir y escribir lo ya dicho de otras maneras es todo en matemáticas. 3×2=6 se dice también ‘3 es el número por el que hay que multiplicar 2 para obtener 6‘. Se simplifica por

3=6/2

Así que

6/2,

‘número por el que hay que multiplicar 2 para obtener 6′, es otra escritura de 3. En forma de cociente o de fracción, se dice. Se llama a 6 numerador de la fracción y a 2 denominador. Se lee también ‘seis dividido por dos’.

12/4, ‘número por el que hay que multiplicar 4 para obtener 12′, también es el número 3.

Con esta manera de decir, 3 se puede escribir

3/1=6/2=9/3=12/4=15/5=…,

otros infinitos símbolos para 3. Se ve que multiplicar el numerador y el denominador de cualquier fracción que sea 3 por un mismo número entero que no sea cero da otra escritura de 3.

0/5 es ‘número por el que hay que multiplicar 5 para obtener 0′. Resulta ser el número cero. Formas de escribir ‘cero’ son, por tanto,

0/1=0/2=0/3=…

también infinitas. Se excluye el cero en el denominador porque

0/0,

número por el que hay que multiplicar 0 para obtener cero es cualquier número entero. 0/0 no identifica ninguno.

Así que los números enteros se pueden escribir
…
-2=-2/1=-4/2=-6/3=-8/4=…
-1=-1/1=-2/2=-3/3=-4/4=…
0=0/(-2)=0/(-1)=0/1=0/2=0/3=…
1=1/1=2/2=3/3=4/4=…
2=2/1=4/2=6/3=8/4=…
…,
infinitos símbolos en cada línea para cada uno de los infinitos números enteros.

Números racionales

Con la nueva forma de decir, el símbolo

5/2

es número por el que hay que multiplicar 2 para obtener 5,

(5/2)x2=5.

Entre los números enteros no hay ninguno que multiplicado por 2 sea 5. Por tanto 5/2 no es ningún número entero. Pero recordemos que hemos llamado números a símbolos que solo expresan relaciones entre ellos. Así, solo la relación 3=2+1, (3 es el siguiente de 2), hace número al símbolo 3. De la misma forma solo la relación (5/2)x2=5, (número por el que hay que multiplicar 2 para obtener 5), hace número al símbolo 5/2. En general pues

m/n,

con m cualquier entero, y n también cualquier número entero excepto 0, solo significa

(m/n)n=m,

que m/n es el símbolo (número) por el que hay que multiplicar n para obtener m. Además, para no alterar lo ya hecho en los números enteros, se acuerda que, como acabamos de ver que ocurre para ellos, sea

(mp)/(np)=m/n,

que (mp)/(np), con p cualquier entero excepto 0, sea otra forma de m/n.

Cada símbolo m/n así creado se llama número racional.

Los números enteros forman parte de los racionales, pues n/1, número por el que hay que multiplicar 1 para obtener n es otra forma de cualquier entero n.

Por qué excluimos cero del denominador

Con la nueva forma de decir, 6/0, ‘seis dividido por cero’, sería ‘número por el que hay que multiplicar 0 para obtener 6’. O sea,

(6/0)x0=6

Desde luego 6/0 no es ningún número entero, pues cualquiera multiplicado por cero es cero, no seis. Pero podríamos incluirlo entre los números racionales como hemos hecho con 5/2, que tampoco es número entero. Sin embargo hacerlo desbarataría la estructura ya creada de los números enteros. Por ejemplo, como en ellos es 0=0+0, que sea (6/0)x0=6 conduce a

6=(6/0)x0=(6/0)x(0+0)=(6/0)x0+(6/0)x0=6+6=12,

seis igual a doce, incompatible con lo ya hecho para los números enteros. Y hay infinitas incompatibilidades más.

Por razones como esta los símbolos n/0 no se incluyen entre los números racionales. Se trata de otro arreglo conveniente para ir ampliando la estructura lingüística de los números sin alterar lo ya hecho, sin alterar en este caso la estructura de los números enteros.