Decir de otras maneras contenidos de lo dicho, lo que venimos llamando deducir, requiere a menudo crear lenguaje. Unas veces para que lo dicho se note más o del todo, otras para abreviar, y en ocasiones para hacer posible lo que a primera vista parece imposible.

El sistema de numeración decimal ya mostró su eficacia para esos objetivos, también para el tercero, hacer posible lo imposible. Creó símbolos y nombres para cada uno de los infinitos número naturales. Consiguió hacerlos identificables y cualquiera comparable con cualquier otro.

Pero a medida que conocemos más del mundo necesitamos utilizar números más grandes. Tanto que llegan a no bastar las abreviaturas del estilo 100 000 en lugar de

1+1+1+1+1+…+1+1 ( ‘1’ seguido de noventa y nueve mil veces ‘+1’)

En el artículo de este blog de 4 de septiembre de 2019 vimos que en la leyenda del ajedrez los granos de trigo del último escaque resultan

18 446 744 073 709 551 616

Y también que otra escritura abreviada de ese número es

2⁶⁴,

dos elevado a sesenta y cuatro, una potencia de dos.

Las potencias son eficaces para abreviar números grandes y para utilizarlos. Suelen preferirse las de base diez porque

diez elevado a uno es diez, 10¹=10;
diez elevado a dos es cien, 10²=10×10=100;
diez elevado a tres es mil, 10³=10x10x10=1000;
…. … …,
El exponente sobre 10 indica los ceros que siguen a 1, lo que facilita el uso. Por ejemplo, las galaxias del universo se estiman en cien mil millones,

100 000 000 000=10¹¹

Las estrellas de cada galaxia en doscientos mil millones,

200 000 000 000=2×100 000 000 000=2×10¹¹

Por tanto la cantidad de estrellas del universo sería

2×10¹¹x10¹¹=2×10¹¹⁺¹¹=2×10²²,

un dos seguido de veintidós ceros. Veinte mil trillones de estrellas.

Así se estiman cantidades grandes. Y se comparan. Aunque conviene tener presente que la aproximación es menor cuanto mayor sea el exponente. Por ejemplo, hay quien calcula los átomos (núcleos atómicos) del universo entre

10⁷⁷ y 10⁸⁰

Pueden parecer cantidades próximas. Sin embargo, un mundo que tuviera 1080 átomos contendría mil mundos de 10⁷⁷ átomos:

10⁸⁰=10³x10⁷⁷=1000×10⁷⁷

A pesar de la enorme diferencia, ambos conjuntos son igual de inconcebibles. Y es que cuanto mayores son los números, más descansa el conocimiento que adquirimos con ellos exclusivamente en ellos. Su verdadera información son sus relaciones. Por ellas podemos compararlos. Un conjunto de tres elementos puede conocerse por la sensación directa de lo que observamos, viéndolo. Y solo con esa observación es comparable con otros de dos, de tres elementos, de cuatro… Algo así quizá ocurra a los niños con los conjuntos de su familia: madre; madre y padre; madre, padre y hermano. Y algo así nos habrá ocurrido a los humanos hasta que fuimos creando los números. Pero a medida que los conjuntos son mayores la identificación y la comparación es más difícil, y llega a ser imposible sin los números. Sin ellos nadie puede citar un conjunto de un cuatrillón de elementos. Con ellos podemos no solo citarlo sino compararlo con cualquier otro, incluido el de un cuatrillón uno. Son los números los que permiten comparaciones como estas entre cualesquiera conjuntos. Además, la información que ofrecen es del todo independiente de nosotros. De ahí el asombro que no pocas veces nos deparan. Como el de los granos de trigo del ajedrez. Una creación nuestra, lenguaje, cuyo poder para informarnos resulta del todo independiente de nosotros.

Pero todo de ese lenguaje es que hemos llamado números naturales a
‘I; II; III; IIII; IIIII;…’, (‘palote; palote palote; palote palote palote;…’);

que también hemos escrito
‘1; 1+1; 1+1+1; 1+1+1+1; 1+1+1+1+1;…’;

que hemos descrito como
‘1 y cada n+1 si n es número natural‘;

que hemos abreviado con
‘1; 2; 3; 4;…’;

que hemos nombrado
‘uno, dos, tres, cuatro,…’;
…

De esas formas equivalentes hemos ido diciendo contenidos, construyendo la teoría de los números naturales. Un resultado es que podemos estimar y comparar las cantidades de átomos del universo, de las moléculas del agua del mar, de las bacterias de nuestro cuerpo,…, e innumerables otras aplicaciones. Y que podemos seguir entretenidos en descubrir nuevas relaciones entre los números.