Hay palabras que, a pesar de haberse asentado tanto en nuestro uso común como en el propio diccionario de la lengua española, siguen sonando como de otro idioma, aquel que las vio nacer. Es el caso de “sándwich”, ese emparedado hecho con dos rebanadas de pan de molde entre las que colocar de relleno algún fiambre u otras viandas, en lo que viene a ser un bocadillo donde el pan tradicional se sustituye por el moldeado de base rectangular.

Este anglicismo tiene su origen en John Montagu, cuarto conde de Sandwich, una ciudad situada al sureste de Inglaterra. Este ilustre noble inglés del siglo XVIII no es recordado por los grandes cargos que llegó a ocupar, incluso ha quedado relegado su papel como mecenas de la expedición en la que se descubrieron las islas Hawai, a las que en su honor se les dio el nombre de islas Sandwich. Por encima de todo ello, este personaje ha pasado a la historia popular por haber ideado una manera de comer a base de emparedados, para así no tener que apartarse mientras comía de otras ocupaciones o pasiones, como la que profesaba por los naipes, de los que era un empedernido jugador.
Cuando uno toma un sándwich entre las manos, haciendo un efecto de compresión para llevarlo a la boca sin que se descomponga, ocurre que el alimento con que se rellena entre las dos rebanadas de pan tiende a unirse con ellas. De tal modo que, al darle un mordisco al sándwich, quedan comprimidos todos los ingredientes en un mismo bocado, lo que supone una imagen gráfica fuente de inspiración para los matemáticos que buscaban darle nombre a unos de sus teoremas.

El así llamado teorema del sándwich (también llamado teorema de compresión) viene a demostrar algo que, por lo demás, parece bastante obvio: si dos superficies cualquier tipo (planas o curvadas, no importa, como ejemplo dos rebanadas de pan de molde) encierran entre ambas una tercera superficie (por ejemplo, una loncha de jamón de york), cuando las dos primeras se unen, la tercera que está en medio termina también unida con ellas

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Del mismo modo, el teorema funciona con líneas: si uno tiene dos líneas (rectas o curvas, como por ejemplo dos carreteras) y una tercera línea encerrada entre ambas (una tercera carretera), cuando las dos primeras llegan a unirse en un mismo lugar, la última está condenada a unirse también a ellas en el mismo sitio. Este resultado era ya conocido en la Grecia antigua por el matemático y filósofo Antifonte (480 a.c.- 411 a.c.) que lo utilizó para medir las circunferencias, encerrando la línea que describe una circunferencia en el medio de las dos líneas que formaban otras figuras geométricas (como triángulos, más grandes y más pequeños), de las que si se sabía la medida.

19-2018-antifontePrecisando esta idea, Arquímedes (287 a.c. – 212 a.c.) estableció el “método de comprensión” para calcular con precisión el área de la circunferencia, comprimiendo la circunferencia por dentro y por fuera entre dos polígonos regulares con diversos lados. Así fue como Arquímedes llegó calcular con bastante precisión el número Pi (la relación que existe entre la longitud de la circunferencia y su diámetro), explicando que es una cifra que está entre 3 más 10/71 (o sea, 3,1408) y 3 más 1/7 (o sea 3,1428), lo que se aproxima bastante a su valor real (3,1415…).

En esta misma línea de razonamiento, podemos también plantear una versión del mismo teorema del sándwich para números: si uno tiene dos series de números de tal manera que una es mayor que la otra, y sitúa una tercera serie entre ambas, cuando las dos primeras convergen, la tercera también.

Llegamos así a la versión más general del teorema, la que se enseña a los aprendices de matemáticos en las facultades universitarias, que utiliza lo que llamamos funciones (fórmulas matemáticas que al aplicarlas producen superficies, curvas, números,… con lo que se agrupan todas las posibilidades): si tenemos dos funciones una mayor que otra, y una tercera en medio (mayor que la primera y menor que la segunda), cuando las dos primeras convergen, la tercera también lo hace.

Con tantas versiones, el teorema tiene también otros nombres que reflejan la misma idea de encerrar entre dos cosas una tercera: teorema del encaje, teorema del enclaustramiento…. O, como lo llaman en Rusia, teorema del ladrón y los dos policías, pues lo que viene a demostrar es que cuando dos policías van persiguiendo a un ladrón que siempre queda situado entre ambos, cuando los policías se junten el ladrón quedará atrapado entre ellos, como es obvio. Lo que viene a ser un teorema para pillar a los malos…

Eso sí, no hay que confundir este teorema del sándwich con otro enunciado al que los matemáticos hemos denominado teorema del bocadillo. Ambos teoremas se refieren a cosas muy diferentes, del mismo modo que nada tiene que ver un sándwich de jamón de York con un buen bocadillo de jamón serrano.

El teorema del bocadillo de jamón trata de cómo se pueden se pueden cortar el pan y el relleno (de jamón) en un bocadillo de una manera óptima: con un solo corte de cuchillo, que deje sus ingredientes divididos, todos a la vez, en dos partes con la misma cantidad. Para ser exactos, este teorema del bocadillo lo que dice es que en un espacio de dimensión 3 (tal cual lo es el mundo en que vivimos) si situamos de cualquier manera 3 sólidos independientes (por ejemplo, una loncha de jamón, una loncha de queso y un trozo de pan), siempre se puede encontrar un único plano (el cuchillo) que los cortará de manera que quede la mitad exacta de cada solido a cada lado del plano.

19-2018-bocadillo¿A quién se le ha podido ocurrir algo así? Pues el primero en pensar en ello fue Stanislaw Marcin Ulam (1909-1984) un matemático polaco, emigrado a Estados Unidos para participar en el proyecto Manhattan que construyó la primera bomba atómica. Aunque hubo que esperar a que otro compatriota suyo, Karol Borsuk (1905-1982) lo demostrara a principios de la década de 1930. Y para rizar el rizo, el teorema se puede demostrar para una dimensión cualquiera: si situamos en un espacio de dimensión “n”, un conjunto de “n” objetos, siempre existe un hiperplano (de dimensión “n-1”) que divide a cada uno de los objetos en dos partes de igual volumen. Así lo demostraron los matemáticos estadounidenses Marshall Harvey Stone (1903-1989) de la Universidad de Harward y John Wilder Tukey (1915-2000) de la Universidad de Princeton.

Este teorema de Stone-Tukey o teorema de Borsuk-Ulam, se puede también aplicar a cortar una circunferencia con una recta, demostrando una identificación entre los puntos antipodales, de donde se deducen resultados sorprendentes. Por ejemplo, que sobre la superficie terrestre existen en cada momento dos puntos, uno en las antípodas del otro, que tienen la misma temperatura y presión atmosférica. Y este mismo teorema tiene también la culpa de que cuando se establecen los husos horarios en la tierra, necesariamente habrá que introducir una línea de cambio de fecha, y de ahí viene el desfase de un día cuando se da la vuelta al mundo (recuerden a Phileas Fogg, protagonista de “La vuelta al mundo en ochenta días” de Julio Verne, cuando volvió a Londres un día antes de lo que pensaba).

19-2018-superficieterrestre-jpgY si lo prefieren ver de otra manera, este teorema del bocadillo de jamón demuestra que, aunque el mundo esté muy mal repartido, siempre existe una manera de hacer un reparto mejor, de hecho existe un reparto perfecto del mundo, totalmente equitativo. Es cuestión de utilizar reiterativamente el teorema, trazando rectas que vayan separando en partes iguales cada una de las riquezas que existen sobre la tierra.

19-2018-reparto¿Sorprendente? Ciertamente lo es, porque fíjense lo que estamos diciendo de nuestro bocadillo: pongamos el jamón, el queso y el pan donde los pongamos, siempre existe ese corte de cuchillo capaz de dividirlos todos a la vez equitativamente… Pero, todo hay que decirlo, demostrar que existe ese corte (eso afirma el teorema) no significa que sepamos elegir cual ese corte, y ahí el teorema falla, porque no nos explica cómo se debe construir ese corte, sólo nos asegura que existe (para que estemos tranquilos).

En fin, que tampoco hay que complicarse la vida, y si alguien quiere hacerse un buen sándwich o un bocadillo, estará igual de rico tanto si el pan no es de molde como si siguen cortando por su lado cada ingrediente.

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