Habíamos quedado (artículo de 27 de julio de 2017 de este blog) que los números naturales son nombres con una relación muy sencilla: que de cada nombre sabemos cuál es su siguiente. Son un nombre cualquiera y cada nombre “el siguiente de… (un número natural)”.

Como nombre cualquiera elegimos “uno”, 1. La expresión “el siguiente de” la abreviamos añadiendo “+1”. Así 1+1 significa el siguiente de uno, que llamamos dos, 2. A “el siguiente de 2”, 2+1 lo llamamos tres, 3. A “el siguiente de 3”, 3+1 cuatro, 4…

Con el signo “=”, igual, indicamos que lo escrito a sus dos lados designa el mismo nombre. 1+1=2 dice que 2 y 1+1 son formas de escribir el mismo nombre, “dos”, que donde esté escrito 2, podemos escribir 1+1 y viceversa.

Suma

Con los signos, con las formas abreviadas que hemos creado para designar de diversas maneras los mismos números, los mismos nombres, los primeros números naturales se pueden escribir

1
1+1=2
1+1+1=2+1=1+2=3
1+1+1+1=2+2=3+1=2+1+1=1+2+1=1+1+2=1+3=4

En cada renglón se han igualado expresiones que hemos acordado que designen lo mismo: 1+1 lo mismo que 2; 3+1 lo mismo que 4, y así. Formas distintas de escribir los mismos nombres.

Y con esas formas abreviadas la definición de números naturales queda: números naturales son 1 y cada n+1 si n es número natural.

El signo “+”, que llamamos signo “más” o signo de sumar, hace que 3+1=4 se lea también “tres más uno igual a cuatro”. Y solemos leer 2+2=4 también como “dos y dos son cuatro”.

Esta última forma de hablar, decir que tres más uno es igual a cuatro, y que dos y dos son cuatro, puede transmitir la idea de que expresamos hechos que son antes de nuestra creación de los números naturales. Y no. Aquí no nos hemos fijado en nada exterior a lo que nosotros mismos venimos creando. Se trata solo de escribir de varias formas lo contenido en nuestra definición de números naturales, de decir lo mismo de otras maneras. 3+1=4 solo significa que el siguiente de tres, 3+1, lo abreviamos por 4. Y con las formas de expresarnos que hemos creado designamos 1+1+1+1 también con 2+2 porque hemos sustituido 1+1 por su equivalente 2. Así 2+2 y 4 son formas distintas de escribir el siguiente de tres, maneras distintas de decir lo mismo. Nada diferente de lo que hacemos al decir “hermanos” en vez de “hijos de los mismos padres”, o ” tía de” en vez de “hermana de la madre o del padre de”. Son formas diferentes de decir lo mismo.

Llamamos suma a la acción, a la operación de expresar números como sumas de otros números, a expresar 4 como 3+1. También al número que se expresa como suma de otros lo llamamos suma de esos números, y decimos que cuatro es suma de tres y uno.

Jugando a las muñecas

Decir “hermanos” en vez de “hijos de los mismos padres” es también establecer una equivalencia entre expresiones, entre nombres. Como decir “tía de” en vez de “hermana de la madre o del padre de”. La estructura lingüística del parentesco que esas y otras equivalencias crean se emplea cuando resulta útil. Aplicada a los humanos facilita entender las relaciones familiares. También es de utilidad para la gestión de ganaderías, para seleccionar padres, madres y mejorar razas. Y para ser aplicada a las bacterias que se reproducen por división. Se llama madre a la bacteria que se divide e hijas a las dos en que se transforma. En programación orientada a objetos se llaman hermanos los que derivan de uno solo, que se llama padre. Es muy útil esta estructura lingüística para jugar a las muñecas: decir de una de ellas que es madre de otras dos es lo mismo que llamar hermanas de madre a esas dos.

Cada estructura lingüística puede ser aplicada a lo que sea posible e interese. No importa su origen, no importa la razón o razones iniciales o principales por las que se creó, por las que se fue creando. Una vez que disponemos de ella la podemos emplear donde y hasta donde sea posible y útil hacerlo. Donde sea posible y hasta donde sea posible y útil porque la estructura ligüística no se altera, es rígida, las relaciones entre sus nombres, entre sus expresiones permanecen. Es el hecho sobre el que queremos utilizarla el que debe ser encajado en ella, en la estructura. El hecho entero o parte de él. El empleo de la estructura del parentesco en las células que se dividen no suele pasar de madre e hijas.

Cuando dos y otros dos no resultan cuatro

También los números naturales, la estructura lingüística que hemos creado con la regla de “el siguiente”, se puede utilizar hasta donde sea posible cuando convenga. Si se reúnen un conjunto de dos naranjas y otro de otras dos, se comprueba que si se mantiene la identidad de cada naranja, la cantidad de naranjas del nuevo conjunto es el número suma de las cantidades de los dos conjuntos iniciales, 2+2=4, cuatro naranjas. Comprobamos que ocurre así en las reuniones que no alteran demasiado las cosas que se reúnen. Para esas reuniones la suma de números naturales es de utilidad, pues permite predecir la cantidad del conjunto resultante sin necesidad de reunir los iniciales.

Si se reúnen dos gramos y otros dos gramos de elementos químicos ligeros para una reacción nuclear, el número de gramos después de la reacción no es cuatro. Este hecho no encaja en la suma, no es útil la suma para describirlo. Que esto podía ocurrir, que de la reunión de dos gramos y dos gramos podían no resultar cuatro gramos, ya lo sospechó Lavoisier. Por eso medía la masa antes y después de cada reacción química. A él le dio que sí. En todos los casos sus medidas mostraban que la masa después de las reacciones químicas -no nucleares- era la suma de las masas de los cuerpos que reaccionaban, al menos hasta lo que él podía aproximar. Por eso la suma es útil para saber los gramos que han de esperarse después de una reacción química: son muy aproximadamente la suma de los gramos de las sustancias antes de la reacción.

No hace falta alejarse de la vida común para mostrar reuniones en las que, para su conocimiento, para su gestión, la suma resulta poco o nada útil. Volviendo a las naranjas, si al reunirlas las transformamos en zumo, deja de ser tan útil la suma. Podemos, desde luego, decir que el zumo resultante es el de cuatro naranjas, pero puede ser un dato que no interese, pues dos naranjas pueden dar más zumo que cuatro.

Si se reúnen dos litros y otros dos litros de un gas en un único recipiente, el volumen resultante es el del recipiente final, cualesquiera que sean los volúmenes iniciales. Tampoco para este hecho la suma es útil. Y si nos fijamos en la temperatura del gas reunido, casi nunca es la suma de las temperaturas de los otros dos.

Que el 4 con el que se nombra un jugador de un equipo de fútbol sea la suma de los nombres 3 y 1 de otros dos jugadores, no parece de mucho interés para los hechos habituales del fútbol. La equivalencia 3+1=4 no se utiliza para nada relacionado con nombrar jugadores, el encaje en los números naturales no suele pasar aquí de asignarlos como nombres.

Imposibles

Que “dos y dos son cuatro” suele ponerse como ejemplo de lo que no puede ser de otra manera. A veces incluso se expresa esa idea diciendo que un ser omnipotente nunca podría impedir que dos y dos sean cuatro. Si esa afirmación se refiere a hechos exteriores a los números, hay ejemplos, como hemos visto, en los que de la reunión de dos cosas y otras dos cosas no resultan cuatro de esas cosas. Si se refiere exclusivamente a la estructura lingüística que hemos creado, es 2+2=4 solo porque “el siguiente de tres” lo hemos abreviado con “cuatro”, 4. Y con las formas de decir que hemos creado, 4 y 2+2 designan exactamente el mismo nombre, el mismo número. No es una imposición ni más ni menos fuerte que las de algunas otras estructuras lingüísticas. Lo mismo de imposible que dos y dos no sean cuatro es que “hijas de la misma madre y del mismo padre” no sean “hermanas”. Son hermanas porque hemos decidido que las expresiones “hijas de la misma madre y del mismo padre” y “hermanas” sean equivalentes. Aunque designen muñecas.

Final

La teoría de los números naturales y el resto de las matemáticas son estructuras lingüísticas constituidas principalmente por expresiones equivalentes. Esas estructuras, una vez creadas, no se alteran. Por eso, si se conocen bien, encajar hasta donde sea posible en ellas hechos, acontecimientos, lo que ocurre, lo que pensamos, lo que ideamos, lo que inventamos, cualquier suceso, puede servir para el conocimiento de ese suceso por medio de las relaciones de la estructura en que queda encajado.

Hay hechos muy comunes encajados en estructuras matemáticas que manejamos de forma habitual, casi automática.

– Quiero tres quilos de aceitunas.
– Solo tengo tarros de un quilo y de dos quilos.
– Vale. Déme uno de dos quilos y otro de uno.
­– Son siete euros.
– Tenga: un billete de cinco y una moneda de dos.

Los interlocutores de este diálogo conocen la parte de la estructura lingüística, la de los números, que utilizan: que 2+1 es otra forma de decir 3, y 5+2 de decir 7. Y que la suma puede ser utilizada con los kilos y el precio de esa compra.

La ciencia trata de encajar en estructuras matemáticas los hechos que investiga hasta donde resulte posible y útil hacerlo. La física es casi solo eso. Ese procedimiento para conocer se fue consolidando y extendiendo a partir del siglo XVII. Los resultados son espectaculares.