Números naturales son 1 y cada n+1 si n es número natural. Esta definición consiste en llamar números naturales a 1; 1+1; 1+1+1; 1+1+1+1; 1+1+1+1+1;…  Para abreviar los designamos por 1, 2, 3, 4, 5,…:

1
1+1=2
1+1+1=3
1+1+1+1=4
1+1+1+1+1=5
…   ….

Lo anterior crea la suma, da significado a expresiones como 3+2 y 2+3, que ni siquiera aparecen en lo escrito arriba. Solo la definición y el lenguaje abreviado que acabamos de mostrar, no otra cosa, establecen que 3+2 y 2+3 son formas de escribir 5.

Poner de manifiesto que 3+2=2+3=5 es contenido de la definición de números naturales se llama demostración. Y, si realmente es así, 3+2=2+3=5 se llama teorema.
Para demostrar el teorema 3+2=2+3=5 partimos de 3+2 y vamos utilizando lo ya dicho:

3+2=(1+1+1)+(1+1)=1+1+1+1+1=(1+1)+(1+1+1)=2+3=5

Los paréntesis son innecesarios. Solo tratan de orientar al lector. Hemos utilizado 3=1+1+1 y 2=1+1. El 5 final es 1+1+1+1+1 del centro.

Y el teorema está demostrado. La demostración ha consistido en ir expresando contenidos de la definición de números naturales con el lenguaje que acabamos de crear. No hay más.

Para demostrar que 3+2=2+3=5, podíamos haber partido de 2+3 y también de 5. Un teorema suele poder demostrarse por distintos caminos.

Decir algo y justificarlo después es una forma tradicional de exponer. Se afirma que es 3+2=2+3=5 y después se demuestra, se comprueba que es contenido de la definición de números naturales.

Pero se puede cambiar el orden de la exposición: no afirmar ni negar nada previamente, sino ir deduciendo, mostrando contenidos de la definición. Se ve así más directamente que los teoremas son propiedades de lo definido, de los números naturales en este caso. Decir primero que es 3+2=2+3=5 y demostrarlo después, puede contribuir a situar esa ‘verdad’ también fuera de los números naturales, en todo, incluso independiente de todo. Pero no es ninguna verdad más allá de que 3+2 y 2+3 son formas de escribir 5, una propiedad de los números naturales, interior a ellos (artículo de este blog de 4 de septiembre de 2019).

Designar con n+1 cada número natural excepto el 1 crea la suma. Y abreviar, por ejemplo, 2+2+2 con 3×2 crea el producto. Estas equivalencias permiten automatizar el lenguaje. Así, cada una de las tres expresiones 2+2+2; 3×2 y 6 puede ser sustituida siempre por cualquiera de las otras dos. Las tres son lo mismo.

Decir de otras maneras contenidos de lo ya dicho es el todo del lenguaje que llamamos matemáticas. Sus demostraciones consisten en sustituir unas expresiones por otras equivalentes. Por eso podemos hacerlas con máquinas, con ordenadores.